حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (t) = \frac{4 t}{4 + \sqrt{t}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{4 t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{4 t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d t} [\frac{t}{4 + t^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = 4 + t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{(4 + t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \frac{(4 + t^{\frac{1}{2}}) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب $4 + t^{\frac{1}{2}}$ في $1$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [4 + t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 + t^{\frac{1}{2}}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.4

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (0 + \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - t \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 10

اجمع $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $t$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 11

اضرب $t^{- \frac{1}{2}}$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

اضرب $t^{- \frac{1}{2}}$ في $t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2}} t^{1}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 11.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + 1}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 11.2

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 11.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{- 1 + 2}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 11.4

أضف $- 1$ و $2$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 12

لكتابة $t^{\frac{1}{2}}$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 13

اجمع $t^{\frac{1}{2}}$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 14

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 15

انقُل $2$ إلى يسار $t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{4 + \frac{2 \cdot t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 16

اطرح $t^{\frac{1}{2}}$ من $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 17

اضرب $\frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ في $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

خطوة 18

اجمع.

$4 \frac{2 (4 + \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2})}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 19

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \frac{2 \cdot 4 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 20

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \frac{2 \cdot 4 + 2 \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 20.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 \frac{2 \cdot 4 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 21

اضرب $2$ في $4$ .

$4 \frac{8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 22

اجمع $4$ و $\frac{8 + t^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$ .

$\frac{4 (8 + t^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 23

أخرِج العامل $2$ من $4 (8 + t^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 24

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 24.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 ({(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

خطوة 24.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2 (8 + t^{\frac{1}{2}}))}{2 {(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 24.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 (8 + t^{\frac{1}{2}})}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 25

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 \cdot 8 + 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 25.2

اضرب $2$ في $8$ .

$\frac{16 + 2 t^{\frac{1}{2}}}{{(4 + t^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

خطوة 25.3

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} + 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

خطوة 25.4

أخرِج العامل $2$ من $2 t^{\frac{1}{2}} + 16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 25.4.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}}) + 16}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

خطوة 25.4.2

أخرِج العامل $2$ من $16$ .

$\frac{2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 8}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$

خطوة 25.4.3

أخرِج العامل $2$ من $2 t^{\frac{1}{2}} + 2 \cdot 8$ .

$\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} + 8)}{{(t^{\frac{1}{2}} + 4)}^{2}}$