حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (3 x^{2} + 7) (x^{2} - 2 x + 3)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 3 x^{2} + 7$ و $g (x) = x^{2} - 2 x + 3$ .

$(3 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 3] + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 2 x + 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

خطوة 2.3

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

خطوة 2.5

اضرب $- 2$ في $1$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [3]) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

خطوة 2.6

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

خطوة 2.7

أضف $2 x - 2$ و $0$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x^{2} + 7]$

خطوة 2.8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{2} + 7$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 2.9

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 2.10

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 2.11

اضرب $2$ في $3$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (6 x + \frac{d}{d x} [7])$

خطوة 2.12

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (6 x + 0)$

خطوة 2.13

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.13.1

أضف $6 x$ و $0$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 3) (6 x)$

خطوة 2.13.2

انقُل $6$ إلى يسار $x^{2} - 2 x + 3$ .

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + 6 \cdot (x^{2} - 2 x + 3) x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + (6 x^{2} + 6 (- 2 x) + 6 \cdot 3) x$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x^{2} + 7) (2 x - 2) + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(3 x^{2} + 7) (2 x) + (3 x^{2} + 7) \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} (2 x) + 7 (2 x) + (3 x^{2} + 7) \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.5

طبّق خاصية التوزيع.

$3 x^{2} (2 x) + 7 (2 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 + 7 \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اضرب $2$ في $3$ .

$6 x^{2} x + 7 (2 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 + 7 \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.2

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 (x^{1} x^{2}) + 7 (2 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 + 7 \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 x^{1 + 2} + 7 (2 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 + 7 \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.4

أضف $1$ و $2$ .

$6 x^{3} + 7 (2 x) + 3 x^{2} \cdot - 2 + 7 \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.5

اضرب $2$ في $7$ .

$6 x^{3} + 14 x + 3 x^{2} \cdot - 2 + 7 \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.6

اضرب $- 2$ في $3$ .

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} + 7 \cdot - 2 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.7

اضرب $7$ في $- 2$ .

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{2} x + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 (x^{1} x^{2}) + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{1 + 2} + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.10

أضف $1$ و $2$ .

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{3} + 6 (- 2 x) x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.11

اضرب $- 2$ في $6$ .

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{3} - 12 x \cdot x + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.12

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{3} - 12 (x^{1} x) + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.13

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{3} - 12 (x^{1} x^{1}) + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{3} - 12 x^{1 + 1} + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.15

أضف $1$ و $1$ .

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 6 \cdot 3 x$

خطوة 3.6.16

اضرب $6$ في $3$ .

$6 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 + 6 x^{3} - 12 x^{2} + 18 x$

خطوة 3.6.17

أضف $6 x^{3}$ و $6 x^{3}$ .

$12 x^{3} + 14 x - 6 x^{2} - 14 - 12 x^{2} + 18 x$

خطوة 3.6.18

اطرح $12 x^{2}$ من $- 6 x^{2}$ .

$12 x^{3} + 14 x - 18 x^{2} - 14 + 18 x$

خطوة 3.6.19

أضف $14 x$ و $18 x$ .

$12 x^{3} + 32 x - 18 x^{2} - 14$

خطوة 3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$12 x^{3} - 18 x^{2} + 32 x - 14$