حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = (1 + 9 x^{2}) (x - x^{2})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = 1 + 9 x^{2}$ و $g (x) = x - x^{2}$ .

$(1 + 9 x^{2}) \frac{d}{d x} [x - x^{2}] + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

خطوة 2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - (2 x)) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

خطوة 2.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [1 + 9 x^{2}]$

خطوة 2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + 9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

خطوة 2.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (0 + \frac{d}{d x} [9 x^{2}])$

خطوة 2.8

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

خطوة 2.9

بما أن $9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $9 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (x - x^{2}) (9 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

خطوة 2.10

انقُل $9$ إلى يسار $x - x^{2}$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + 9 \cdot (x - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

خطوة 2.11

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + 9 (x - x^{2}) (2 x)$

خطوة 2.12

اضرب $2$ في $9$ .

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + 18 (x - x^{2}) x$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + (18 x + 18 (- x^{2})) x$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$(1 + 9 x^{2}) (1 - 2 x) + 18 x \cdot x + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$(1 + 9 x^{2}) \cdot 1 + (1 + 9 x^{2}) (- 2 x) + 18 x \cdot x + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.4

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot 1 + 9 x^{2} \cdot 1 + (1 + 9 x^{2}) (- 2 x) + 18 x \cdot x + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.5

طبّق خاصية التوزيع.

$1 \cdot 1 + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 9 x^{2} (- 2 x) + 18 x \cdot x + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.6

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

اضرب $1$ في $1$ .

$1 + 9 x^{2} \cdot 1 + 1 (- 2 x) + 9 x^{2} (- 2 x) + 18 x \cdot x + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.6.2

اضرب $9$ في $1$ .

$1 + 9 x^{2} + 1 (- 2 x) + 9 x^{2} (- 2 x) + 18 x \cdot x + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.6.3

اضرب $- 2$ في $1$ .

$1 + 9 x^{2} - 2 x + 9 x^{2} (- 2 x) + 18 x \cdot x + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.6.4

اضرب $- 2$ في $9$ .

$1 + 9 x^{2} - 2 x - 18 x^{2} x + 18 x \cdot x + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.6.5

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$1 + 9 x^{2} - 2 x - 18 (x^{1} x^{2}) + 18 x \cdot x + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.6.6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1 + 9 x^{2} - 2 x - 18 x^{1 + 2} + 18 x \cdot x + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.6.7

أضف $1$ و $2$ .

$1 + 9 x^{2} - 2 x - 18 x^{3} + 18 x \cdot x + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.6.8

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$1 + 9 x^{2} - 2 x - 18 x^{3} + 18 (x^{1} x) + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.6.9

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$1 + 9 x^{2} - 2 x - 18 x^{3} + 18 (x^{1} x^{1}) + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.6.10

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1 + 9 x^{2} - 2 x - 18 x^{3} + 18 x^{1 + 1} + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.6.11

أضف $1$ و $1$ .

$1 + 9 x^{2} - 2 x - 18 x^{3} + 18 x^{2} + 18 (- x^{2}) x$

خطوة 3.6.12

اضرب $- 1$ في $18$ .

$1 + 9 x^{2} - 2 x - 18 x^{3} + 18 x^{2} - 18 x^{2} x$

خطوة 3.6.13

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$1 + 9 x^{2} - 2 x - 18 x^{3} + 18 x^{2} - 18 (x^{1} x^{2})$

خطوة 3.6.14

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$1 + 9 x^{2} - 2 x - 18 x^{3} + 18 x^{2} - 18 x^{1 + 2}$

خطوة 3.6.15

أضف $1$ و $2$ .

$1 + 9 x^{2} - 2 x - 18 x^{3} + 18 x^{2} - 18 x^{3}$

خطوة 3.6.16

أضف $9 x^{2}$ و $18 x^{2}$ .

$1 + 27 x^{2} - 2 x - 18 x^{3} - 18 x^{3}$

خطوة 3.6.17

اطرح $18 x^{3}$ من $- 18 x^{3}$ .

$1 + 27 x^{2} - 2 x - 36 x^{3}$

خطوة 3.7

أعِد ترتيب الحدود.

$- 36 x^{3} + 27 x^{2} - 2 x + 1$