حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sum_{n = 1}^{\infty} (- 144) {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

خطوة 1

يمكن إيجاد مجموع المتسلسلة الهندسية اللانهائية باستخدام القاعدة $\frac{a}{1 - r}$ حيث $a$ هو الحد الأول و $r$ هي النسبة بين الحدود المتتالية.

خطوة 2

أوجِد نسبة الحدود المتتالية بالتعويض في القاعدة $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عوّض بـ $a_{n}$ و $a_{n + 1}$ في قاعدة إيجاد $r$ .

$r = \frac{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $- 144$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{- 144 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.2

احذِف العامل المشترك لـ ${(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ و ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.1

أخرِج العامل ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ من ${(\frac{1}{2})}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1}}$

خطوة 2.2.2.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.2.2.1

اضرب في $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(\frac{1}{2})}^{n - 1} \cdot 1}$

خطوة 2.2.2.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

خطوة 2.2.2.2.4

اقسِم ${(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$ على $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{n + 0 - (n - 1)}$

خطوة 2.2.3

أضف $n$ و $0$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{n - (n - 1)}$

خطوة 2.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$r = {(\frac{1}{2})}^{n - n - - 1}$

خطوة 2.2.4.2

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{n - n + 1}$

خطوة 2.2.5

اطرح $n$ من $n$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{0 + 1}$

خطوة 2.2.6

أضف $0$ و $1$ .

$r = {(\frac{1}{2})}^{1}$

خطوة 2.2.7

بسّط.

$r = \frac{1}{2}$

خطوة 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

خطوة 4

أوجِد الحد الأول في المتسلسلة بالتعويض بقيمة الحد الأدنى والتبسيط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

عوّض بـ $1$ عن $n$ في $(- 144) {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

$a = - 144 {(\frac{1}{2})}^{1 - 1}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اطرح $1$ من $1$ .

$a = - 144 {(\frac{1}{2})}^{0}$

خطوة 4.2.2

طبّق قاعدة الضرب على $\frac{1}{2}$ .

$a = - 144 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

خطوة 4.2.3

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = - 144 \frac{1}{2^{0}}$

خطوة 4.2.4

أي شيء مرفوع إلى $0$ هو $1$ .

$a = - 144 (\frac{1}{1})$

خطوة 4.2.5

ألغِ العامل المشترك لـ $1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$a = - 144 (\frac{1}{1})$

خطوة 4.2.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$a = - 144 \cdot 1$

خطوة 4.2.6

اضرب $- 144$ في $1$ .

$a = - 144$

خطوة 5

عوّض بقيم النسبة والحد الأول في قاعدة المجموع.

$\frac{- 144}{1 - \frac{1}{2}}$

خطوة 6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

اكتب $1$ في صورة كسر ذي قاسم مشترك.

$\frac{- 144}{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

خطوة 6.1.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{- 144}{\frac{2 - 1}{2}}$

خطوة 6.1.3

اطرح $1$ من $2$ .

$\frac{- 144}{\frac{1}{2}}$

خطوة 6.2

اضرب بسط الكسر في مقلوب القاسم.

$- 144 \cdot 2$

خطوة 6.3

اضرب $- 144$ في $2$ .

$- 288$