حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} - 8}{x - 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 8$ و $g (x) = x - 3$ .

$\frac{(x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 8] - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{(x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 8]) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{(x - 3) (2 x) - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $x - 3$ .

$\frac{2 \cdot (x - 3) x - (x^{2} - 8) \frac{d}{d x} [x - 3]}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) (1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) (1 + 0)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8) \cdot 1}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (x - 3) x - (x^{2} - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 3) x - (x^{2} - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - (x^{2} - 8)}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $2$ في $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} - - 8}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

اضرب $- 1$ في $- 8$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x - x^{2} + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 6 x + 8}{{(x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.5

حلّل $x^{2} - 6 x + 8$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $8$ ومجموعهما $- 6$ .

$- 4, - 2$

خطوة 3.5.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{(x - 4) (x - 2)}{{(x - 3)}^{2}}$