حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x^{2} - 1}{2 x - 3}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} - 1$ و $g (x) = 2 x - 3$ .

$\frac{(2 x - 3) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 x - 3) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(2 x - 3) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(2 x - 3) (2 x + 0) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{(2 x - 3) (2 x) - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $2 x - 3$ .

$\frac{2 \cdot (2 x - 3) x - (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [2 x - 3]}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{2 (2 x - 3) x - (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.6

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (2 x - 3) x - (x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (2 x - 3) x - (x^{2} - 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.8

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 (2 x - 3) x - (x^{2} - 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.9

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (2 x - 3) x - (x^{2} - 1) (2 + 0)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.10

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.10.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{2 (2 x - 3) x - (x^{2} - 1) \cdot 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 2.10.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (2 x - 3) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 (2 x) + 2 \cdot - 3) x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 3 x - 2 (x^{2} - 1)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 x) x + 2 \cdot - 3 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (2 (x \cdot x)) + 2 \cdot - 3 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 3 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 x^{2} + 2 \cdot - 3 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

اضرب $2$ في $- 3$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} - 2 \cdot - 1}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.4

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{4 x^{2} - 6 x - 2 x^{2} + 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

اطرح $2 x^{2}$ من $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 6 x + 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.5

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2} - 6 x + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{2 (x^{2}) - 6 x + 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $2$ من $- 6 x$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (x^{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (1)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.5.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2}) + 2 (- 3 x)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3 x) + 2 (1)}{{(2 x - 3)}^{2}}$

خطوة 3.5.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (x^{2} - 3 x) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (x^{2} - 3 x + 1)}{{(2 x - 3)}^{2}}$