حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{4 x^{2} + 4}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{1}{4 x^{2} + 4}$ بالصيغة ${(4 x^{2} + 4)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(4 x^{2} + 4)}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- 1}$ و $g (x) = 4 x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 x^{2} + 4$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 x^{2} + 4$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 3.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 3.4

اضرب $2$ في $4$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + \frac{d}{d x} [4])$

خطوة 3.5

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x + 0)$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $8 x$ و $0$ .

$- {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} (8 x)$

خطوة 3.6.2

اضرب $8$ في $- 1$ .

$- 8 {(4 x^{2} + 4)}^{- 2} x$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $- 8$ و $\frac{1}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

خطوة 4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}} x$

خطوة 4.2.3

اجمع $x$ و $\frac{8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{x \cdot 8}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 4.2.4

انقُل $8$ إلى يسار $x$ .

$- \frac{8 x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{2} + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{2}$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.2

أخرِج العامل $4$ من $4$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

خطوة 4.3.1.3

أخرِج العامل $4$ من $4 (x^{2}) + 4 (1)$ .

$- \frac{8 x}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

خطوة 4.3.2

طبّق قاعدة الضرب على $4 (x^{2} + 1)$ .

$- \frac{8 x}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.3.3

ارفع $4$ إلى القوة $2$ .

$- \frac{8 x}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.4

احذِف العامل المشترك لـ $8$ و $16$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

أخرِج العامل $8$ من $8 x$ .

$- \frac{8 (x)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

أخرِج العامل $8$ من $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$- \frac{8 (x)}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

خطوة 4.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$- \frac{8 x}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

خطوة 4.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$- \frac{x}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$