حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2 e^{x} - 1}{2 e^{x} + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = 2 e^{x} - 1$ و $g (x) = 2 e^{x} + 1$ .

$\frac{(2 e^{x} + 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} - 1] - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 e^{x} - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(2 e^{x} + 1) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x} + 0) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أضف $2 e^{x}$ و $0$ .

$\frac{(2 e^{x} + 1) (2 e^{x}) - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

انقُل $2$ إلى يسار $2 e^{x} + 1$ .

$\frac{2 \cdot (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) \frac{d}{d x} [2 e^{x} + 1]}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 e^{x} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (\frac{d}{d x} [2 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 e^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الدالة الثابتة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x} + 0)}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أضف $2 e^{x}$ و $0$ .

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - (2 e^{x} - 1) (2 e^{x})}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 6.2.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{2 (2 e^{x} + 1) e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 (2 e^{x}) + 2 \cdot 1) e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x} - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} + (- 2 (2 e^{x}) - 2 \cdot - 1) e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x}) e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $2 (2 e^{x}) e^{x} + 2 \cdot 1 e^{x} - 2 (2 e^{x}) e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.1.1

اطرح $2 (2 e^{x}) e^{x}$ من $2 (2 e^{x}) e^{x}$ .

$\frac{2 \cdot 1 e^{x} + 0 - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.5.1.2

أضف $2 \cdot 1 e^{x}$ و $0$ .

$\frac{2 \cdot 1 e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.5.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.5.2.1

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 e^{x} - 2 \cdot - 1 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.5.2.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{2 e^{x} + 2 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$

خطوة 7.5.3

أضف $2 e^{x}$ و $2 e^{x}$ .

$\frac{4 e^{x}}{{(2 e^{x} + 1)}^{2}}$