حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{\sqrt{7 - 4 x}}$

خطوة 1

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{7 - 4 x}$ في صورة ${(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{{(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{{(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${({(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{({(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 1.3

اضرب الأُسس في ${({(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [{(7 - 4 x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

خطوة 1.3.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [{(7 - 4 x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

خطوة 1.3.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{d}{d x} [{(7 - 4 x)}^{- \frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ و $g (x) = 7 - 4 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $7 - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 - 4 x$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{1}{2} {(7 - 4 x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

خطوة 7.2

اجمع ${(7 - 4 x)}^{- \frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{{(7 - 4 x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

خطوة 7.3

انقُل ${(7 - 4 x)}^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [7 - 4 x]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 - 4 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

خطوة 9

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

خطوة 10

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- 4 x]$

خطوة 11

بما أن $- 4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 4 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} (- 4 \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 12

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

اضرب $- 4$ في $- 1$ .

$4 \frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 12.2

اجمع $4$ و $\frac{1}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{4}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 12.3

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 ({(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot 2}{2 {(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 13.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2}{{(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 14

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2}{{(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

خطوة 15

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

اضرب $\frac{2}{{(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{2}{{(7 - 4 x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 15.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2}{{(- 4 x + 7)}^{\frac{3}{2}}}$