حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{8}{\sqrt{4 - x}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{4 - x}$ في صورة ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 1.2

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{8}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 1.3

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.1

أعِد كتابة $\frac{1}{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ بالصيغة ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

خطوة 1.3.2

اضرب الأُسس في ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.3.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

خطوة 1.3.2.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و $- 1$ .

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}}]$

خطوة 1.3.2.3

انقُل السالب أمام الكسر.

$8 \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ و $g (x) = 4 - x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $4 - x$ .

$8 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - \frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $4 - x$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $- 1$ .

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

خطوة 7

انقُل السالب أمام الكسر.

$8 (- \frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

خطوة 8

اجمع ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ و $\frac{1}{2}$ .

$8 (- \frac{{(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x])$

خطوة 9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل ${(4 - x)}^{- \frac{3}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$8 (- \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

خطوة 9.2

اضرب $- 1$ في $8$ .

$- 8 (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x])$

خطوة 10

اجمع $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ و $- 8$ .

$\frac{- 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

خطوة 11

أخرِج العامل $2$ من $- 8$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

خطوة 12

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 4}{2 ({(4 - x)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [4 - x]$

خطوة 12.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 \cdot - 4}{2 {(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

خطوة 12.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- 4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

خطوة 13

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]$

خطوة 14

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 - x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 15

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

خطوة 16

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x]$

خطوة 17

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 18

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$1 \frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 18.2

اضرب $\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

خطوة 19

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

خطوة 20

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 20.1

اضرب $\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$ في $1$ .

$\frac{4}{{(4 - x)}^{\frac{3}{2}}}$

خطوة 20.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{4}{{(- x + 4)}^{\frac{3}{2}}}$