حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{7 t}{t^{2} + 1}$

خطوة 1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{7 t}{t^{2} + 1}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $7 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$ .

$7 \frac{d}{d t} [\frac{t}{t^{2} + 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = t^{2} + 1$ .

$7 \frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$7 \frac{(t^{2} + 1) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب $t^{2} + 1$ في $1$ .

$7 \frac{t^{2} + 1 - t \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$7 \frac{t^{2} + 1 - t (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$7 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$7 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $2 t$ و $0$ .

$7 \frac{t^{2} + 1 - t (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$7 \frac{t^{2} + 1 - 2 t \cdot t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$7 \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 5

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$7 \frac{t^{2} + 1 - 2 (t^{1} t^{1})}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$7 \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{1 + 1}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 7

أضف $1$ و $1$ .

$7 \frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 8

اطرح $2 t^{2}$ من $t^{2}$ .

$7 \frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 9

اجمع $7$ و $\frac{- t^{2} + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{7 (- t^{2} + 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{7 (- t^{2}) + 7 \cdot 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $- 1$ في $7$ .

$\frac{- 7 t^{2} + 7 \cdot 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 10.2.2

اضرب $7$ في $1$ .

$\frac{- 7 t^{2} + 7}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$