حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{2 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$

خطوة 1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $\frac{2 \sin (x)}{3 + \cos (x)}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{\sin (x)}{3 + \cos (x)}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \sin (x)$ و $g (x) = 3 + \cos (x)$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [3 + \cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 4.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $3$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 4.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 5

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6

اضرب.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 6.2

اضرب $\sin (x)$ في $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 7

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 8

ارفع $\sin (x)$ إلى القوة $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 9

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 10

أضف $1$ و $1$ .

$2 \frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 11

اجمع $2$ و $\frac{(3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$ .

$\frac{2 ((3 + \cos (x)) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (3 \cos (x) + \cos (x) \cos (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (3 \cos (x)) + 2 (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.3.1.2

اضرب $\cos (x) \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1.2.1

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.3.1.2.2

ارفع $\cos (x)$ إلى القوة $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.3.1.2.3

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{6 \cos (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.3.1.2.4

أضف $1$ و $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 \cos^{2} (x) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.3.2

أخرِج العامل $2$ من $2 \cos^{2} (x)$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x)) + 2 \sin^{2} (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.3.3

أخرِج العامل $2$ من $2 \sin^{2} (x)$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.3.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (\cos^{2} (x)) + 2 (\sin^{2} (x))$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.3.5

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{6 \cos (x) + 2 (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.3.6

طبّق متطابقة فيثاغورس.

$\frac{6 \cos (x) + 2 \cdot 1}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.3.7

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{6 \cos (x) + 2}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 + 6 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.5

أخرِج العامل $2$ من $2 + 6 \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أخرِج العامل $2$ من $2$ .

$\frac{2 (1) + 6 \cos (x)}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.5.2

أخرِج العامل $2$ من $6 \cos (x)$ .

$\frac{2 (1) + 2 (3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$

خطوة 12.5.3

أخرِج العامل $2$ من $2 (1) + 2 (3 \cos (x))$ .

$\frac{2 (1 + 3 \cos (x))}{{(3 + \cos (x))}^{2}}$