حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 2 x^{2} + 7 x - \ln (x^{2} + 1)$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x^{2} + 7 x - \ln (x^{2} + 1)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

خطوة 2.3

اضرب $2$ في $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 x + 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

خطوة 3.3

اضرب $7$ في $1$ .

$4 x + 7 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$

خطوة 4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2} + 1)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- \ln (x^{2} + 1)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$ .

$4 x + 7 - \frac{d}{d x} [\ln (x^{2} + 1)]$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{2} + 1$ .

$4 x + 7 - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 4.2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 4.2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{2} + 1$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1])$

خطوة 4.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 4.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [1]))$

خطوة 4.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x + 0))$

خطوة 4.6

أضف $2 x$ و $0$ .

$4 x + 7 - (\frac{1}{x^{2} + 1} (2 x))$

خطوة 4.7

اجمع $2$ و $\frac{1}{x^{2} + 1}$ .

$4 x + 7 - (\frac{2}{x^{2} + 1} x)$

خطوة 4.8

اجمع $\frac{2}{x^{2} + 1}$ و $x$ .

$4 x + 7 - \frac{2 x}{x^{2} + 1}$

خطوة 5

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لكتابة $4 x$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} - \frac{2 x}{x^{2} + 1} + 7$

خطوة 5.2

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x}{x^{2} + 1} + 7$

خطوة 5.3

لكتابة $7$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x}{x^{2} + 1} + \frac{7 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$

خطوة 5.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{4 x (x^{2} + 1) - 2 x + 7 (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1}$