حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 \sqrt{x} \sin (x)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{x}$ في صورة $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

خطوة 1.2

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 x^{\frac{1}{2}} \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \sin (x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ و $g (x) = \sin (x)$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

خطوة 5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

خطوة 6

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

خطوة 8.2

اطرح $2$ من $1$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

خطوة 9

انقُل السالب أمام الكسر.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

خطوة 10

اجمع $\frac{1}{2}$ و $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \sin (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 11

اجمع $\sin (x)$ و $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

خطوة 12

انقُل $x^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

خطوة 13

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 (x^{\frac{1}{2}} \cos (x)) + 4 \frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.1

اجمع $4$ و $\frac{\sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{4 \sin (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13.2.2

أخرِج العامل $2$ من $4 \sin (x)$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13.2.3

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 13.2.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 13.2.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 (2 \sin (x))}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13.2.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 x^{\frac{1}{2}} \cos (x) + \frac{2 \sin (x)}{x^{\frac{1}{2}}}$