حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x {(2 x - 8)}^{7}$

خطوة 1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x {(2 x - 8)}^{7}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x {(2 x - 8)}^{7}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x {(2 x - 8)}^{7}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(2 x - 8)}^{7}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [{(2 x - 8)}^{7}] + {(2 x - 8)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{7}$ و $g (x) = 2 x - 8$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 x - 8$ .

$3 (x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [2 x - 8]) + {(2 x - 8)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$3 (x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [2 x - 8]) + {(2 x - 8)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 x - 8$ .

$3 (x (7 {(2 x - 8)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x - 8]) + {(2 x - 8)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 x - 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$3 (x (7 {(2 x - 8)}^{6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 8])) + {(2 x - 8)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.2

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (7 {(2 x - 8)}^{6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8])) + {(2 x - 8)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (x (7 {(2 x - 8)}^{6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8])) + {(2 x - 8)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.4

اضرب $2$ في $1$ .

$3 (x (7 {(2 x - 8)}^{6} (2 + \frac{d}{d x} [- 8])) + {(2 x - 8)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.5

بما أن $- 8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 8$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$3 (x (7 {(2 x - 8)}^{6} (2 + 0)) + {(2 x - 8)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.6.1

أضف $2$ و $0$ .

$3 (x (7 {(2 x - 8)}^{6} \cdot 2) + {(2 x - 8)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.6.2

اضرب $2$ في $7$ .

$3 (x (14 {(2 x - 8)}^{6}) + {(2 x - 8)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 4.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$3 (x (14 {(2 x - 8)}^{6}) + {(2 x - 8)}^{7} \cdot 1)$

خطوة 4.8

اضرب ${(2 x - 8)}^{7}$ في $1$ .

$3 (x (14 {(2 x - 8)}^{6}) + {(2 x - 8)}^{7})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$3 (x (14 {(2 x - 8)}^{6})) + 3 {(2 x - 8)}^{7}$

خطوة 5.2

اضرب $14$ في $3$ .

$42 (x ({(2 x - 8)}^{6})) + 3 {(2 x - 8)}^{7}$

خطوة 5.3

أخرِج العامل $3 {(2 x - 8)}^{6}$ من $42 x {(2 x - 8)}^{6} + 3 {(2 x - 8)}^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

أخرِج العامل $3 {(2 x - 8)}^{6}$ من $42 x {(2 x - 8)}^{6}$ .

$3 {(2 x - 8)}^{6} (14 x) + 3 {(2 x - 8)}^{7}$

خطوة 5.3.2

أخرِج العامل $3 {(2 x - 8)}^{6}$ من $3 {(2 x - 8)}^{7}$ .

$3 {(2 x - 8)}^{6} (14 x) + 3 {(2 x - 8)}^{6} (2 x - 8)$

خطوة 5.3.3

أخرِج العامل $3 {(2 x - 8)}^{6}$ من $3 {(2 x - 8)}^{6} (14 x) + 3 {(2 x - 8)}^{6} (2 x - 8)$ .

$3 {(2 x - 8)}^{6} (14 x + 2 x - 8)$

خطوة 5.4

أضف $14 x$ و $2 x$ .

$3 {(2 x - 8)}^{6} (16 x - 8)$