حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 4 \sin (x) + 3 x^{x}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $4 \sin (x) + 3 x^{x}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [4 \sin (x)]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $4 \sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

خطوة 2.2

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$4 \cos (x) + \frac{d}{d x} [3 x^{x}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{x}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{x}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$ .

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [x^{x}]$

خطوة 3.2

استخدِم خصائص اللوغاريتمات لتبسيط الاشتقاق.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

أعِد كتابة $x^{x}$ بالصيغة $e^{\ln (x^{x})}$ .

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{x})}]$

خطوة 3.2.2

وسّع $\ln (x^{x})$ بنقل $x$ خارج اللوغاريتم.

$4 \cos (x) + 3 \frac{d}{d x} [e^{x \ln (x)}]$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

خطوة 3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{u} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

خطوة 3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = \ln (x)$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.5

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

خطوة 3.7

اجمع $x$ و $\frac{1}{x}$ .

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

خطوة 3.8

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

ألغِ العامل المشترك.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1))$

خطوة 3.8.2

أعِد كتابة العبارة.

$4 \cos (x) + 3 (e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x) \cdot 1))$

خطوة 3.9

اضرب $\ln (x)$ في $1$ .

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} (1 + \ln (x))$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} \cdot 1 + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

خطوة 4.2

اضرب $3$ في $1$ .

$4 \cos (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 3 e^{x \ln (x)} \ln (x)$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب الحدود.

$3 e^{x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{x \ln (x)} + 4 \cos (x)$