حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \cos (3 x) \ln (x^{4})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = \cos (3 x)$ و $g (x) = \ln (x^{4})$ .

$\cos (3 x) \frac{d}{d x} [\ln (x^{4})] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $x^{4}$ .

$\cos (3 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\cos (3 x) (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $x^{4}$ .

$\cos (3 x) (\frac{1}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{x^{4}}$ و $\cos (3 x)$ .

$\frac{\cos (3 x)}{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{\cos (3 x)}{x^{4}} (4 x^{3}) + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

خطوة 3.3

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اجمع $4$ و $\frac{\cos (3 x)}{x^{4}}$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x^{4}} x^{3} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

خطوة 3.3.2

اجمع $\frac{4 \cos (3 x)}{x^{4}}$ و $x^{3}$ .

$\frac{4 \cos (3 x) x^{3}}{x^{4}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

خطوة 3.3.3

احذِف العامل المشترك لـ $x^{3}$ و $x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $4 \cos (3 x) x^{3}$ .

$\frac{x^{3} (4 \cos (3 x))}{x^{4}} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

خطوة 3.3.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.3.2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $x^{4}$ .

$\frac{x^{3} (4 \cos (3 x))}{x^{3} x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

خطوة 3.3.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{3} (4 \cos (3 x))}{x^{3} x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

خطوة 3.3.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 3 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $3 x$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 4.2

مشتق $\cos (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $- \sin (u_{2})$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $3 x$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x]))$

خطوة 5.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x])$

خطوة 5.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- 3 \sin (3 x) \cdot 1)$

خطوة 5.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.4.1

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{4 \cos (3 x)}{x} + \ln (x^{4}) (- 3 \sin (3 x))$

خطوة 5.4.2

أعِد ترتيب الحدود.

$- 3 \sin (3 x) \ln (x^{4}) + \frac{4 \cos (3 x)}{x}$