حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = - x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} \frac{d}{d x} [- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.2

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.4

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.5

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.7

اضرب $2$ في $3$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [189 x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.8

بما أن $189$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $189 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $189 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.10

اضرب $189$ في $1$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 + \frac{d}{d x} [1])$

خطوة 2.11

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189 + 0)$

خطوة 2.12

أضف $- 3 x^{2} + 6 x + 189$ و $0$ .

$\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189)$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1} (- 3 x^{2} + 6 x + 189)$ .

$(- 3 x^{2} + 6 x + 189) \frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.2

اضرب $- 3 x^{2} + 6 x + 189$ في $\frac{1}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$ .

$\frac{- 3 x^{2} + 6 x + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2} + 6 x + 189$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

أخرِج العامل $3$ من $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 6 x + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.3.1.2

أخرِج العامل $3$ من $6 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 189}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.3.1.3

أخرِج العامل $3$ من $189$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (2 x) + 3 (63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.3.1.4

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{2}) + 3 (2 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.3.1.5

أخرِج العامل $3$ من $3 (- x^{2} + 2 x) + 3 (63)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.3.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 1 \cdot 63 = - 63$ ومجموعهما $b = 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 2 (x) + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.3.2.1.2

أعِد كتابة $2$ في صورة $- 7$ زائد $9$

$\frac{3 (- x^{2} + (- 7 + 9) x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.3.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 (- x^{2} - 7 x + 9 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.3.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{3 ((- x^{2} - 7 x) + 9 x + 63)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.3.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{3 (x (- x - 7) - 9 (- x - 7))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.3.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- x - 7$ .

$\frac{3 ((- x - 7) (x - 9))}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

$\frac{3 (- x - 7) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- x$ .

$\frac{3 (- (x) - 7) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.5

أعِد كتابة $- 7$ بالصيغة $- 1 (7)$ .

$\frac{3 (- (x) - 1 (7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x) - 1 (7)$ .

$\frac{3 (- (x + 7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.7

أعِد كتابة $- (x + 7)$ بالصيغة $- 1 (x + 7)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- x^{3} + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- x^{3}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3}) + 3 x^{2} + 189 x + 1}$

خطوة 3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3}) - (- 3 x^{2}) + 189 x + 1}$

خطوة 3.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3}) - (- 3 x^{2})$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) + 189 x + 1}$

خطوة 3.11

أخرِج العامل $- 1$ من $189 x$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 189 x) + 1}$

خطوة 3.12

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3} - 3 x^{2}) - (- 189 x)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) + 1}$

خطوة 3.13

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) - 1 (- 1)}$

خطوة 3.14

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

خطوة 3.15

أعِد كتابة $- (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)$ .

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

خطوة 3.16

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (- 1 (x + 7)) (x - 9)}{- 1 (x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1)}$

خطوة 3.17

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{3 (x + 7) (x - 9)}{x^{3} - 3 x^{2} - 189 x - 1}$