حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

خطوة 1

اكتب $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ في صورة معادلة.

$y = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$

خطوة 2

بادِل المتغيرات.

$x = \frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$

خطوة 3

أوجِد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أعِد كتابة المعادلة في صورة $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$ .

$\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2 = x$

خطوة 3.2

بسّط $\frac{1}{2} \cdot e^{y + 1} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{y + 1}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 = x$

خطوة 3.2.2

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} = x$

خطوة 3.2.3

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{e^{y + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} = x$

خطوة 3.2.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{e^{y + 1} - 2 \cdot 2}{2} = x$

خطوة 3.2.5

اضرب $- 2$ في $2$ .

$\frac{e^{y + 1} - 4}{2} = x$

خطوة 3.3

اضرب كلا المتعادلين في $2$ .

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

خطوة 3.4

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$2 \frac{e^{y + 1} - 4}{2} = 2 x$

خطوة 3.4.1.2

أعِد كتابة العبارة.

$e^{y + 1} - 4 = 2 x$

خطوة 3.5

أضف $4$ إلى كلا المتعادلين.

$e^{y + 1} = 2 x + 4$

خطوة 3.6

خُذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا المتعادلين لحذف المتغير من الأُس.

$\ln (e^{y + 1}) = \ln (2 x + 4)$

خطوة 3.7

وسّع الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

وسّع $\ln (e^{y + 1})$ بنقل $y + 1$ خارج اللوغاريتم.

$(y + 1) \ln (e) = \ln (2 x + 4)$

خطوة 3.7.2

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$(y + 1) \cdot 1 = \ln (2 x + 4)$

خطوة 3.7.3

اضرب $y + 1$ في $1$ .

$y + 1 = \ln (2 x + 4)$

خطوة 3.8

اطرح $1$ من كلا المتعادلين.

$y = \ln (2 x + 4) - 1$

خطوة 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$

خطوة 5

تحقق مما إذا كانت $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

للتحقق من صحة المعكوس، تحقق مما إذا كانتا $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

خطوة 5.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (f (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f^{- 1} (f (x))$

خطوة 5.2.2

احسِب قيمة $f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2)$ باستبدال قيمة $f$ في $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) + 4) - 1$

خطوة 5.2.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.1

اجمع $\frac{1}{2}$ و $e^{x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2) + 4) - 1$

خطوة 5.2.3.1.2

لكتابة $- 2$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}) + 4) - 1$

خطوة 5.2.3.1.3

اجمع $- 2$ و $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

خطوة 5.2.3.1.4

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 2 \cdot 2}{2}) + 4) - 1$

خطوة 5.2.3.1.5

اضرب $- 2$ في $2$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

خطوة 5.2.3.1.6

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.1.6.1

ألغِ العامل المشترك.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (2 (\frac{e^{x + 1} - 4}{2}) + 4) - 1$

خطوة 5.2.3.1.6.2

أعِد كتابة العبارة.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} - 4 + 4) - 1$

خطوة 5.2.3.2

جمّع الحدود المتعاكسة في $e^{x + 1} - 4 + 4$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.3.2.1

أضف $- 4$ و $4$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1} + 0) - 1$

خطوة 5.2.3.2.2

أضف $e^{x + 1}$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = \ln (e^{x + 1}) - 1$

خطوة 5.2.3.3

استخدِم قواعد اللوغاريتم لنقل $x + 1$ خارج الأُس.

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \ln (e) - 1$

خطوة 5.2.3.4

اللوغاريتم الطبيعي لـ $e$ يساوي $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = (x + 1) \cdot 1 - 1$

خطوة 5.2.3.5

اضرب $x + 1$ في $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 1 - 1$

خطوة 5.2.4

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 1 - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.4.1

اطرح $1$ من $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x + 0$

خطوة 5.2.4.2

أضف $x$ و $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2) = x$

خطوة 5.3

احسِب قيمة $f (f^{- 1} (x))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

عيّن دالة النتيجة المركّبة.

$f (f^{- 1} (x))$

خطوة 5.3.2

احسِب قيمة $f (\ln (2 x + 4) - 1)$ باستبدال قيمة $f^{- 1}$ في $f$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$

خطوة 5.3.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $\frac{1}{2} \cdot e^{(\ln (2 x + 4) - 1) + 1} - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.3.1

أضف $- 1$ و $1$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4) + 0} - 2$

خطوة 5.3.3.2

أضف $\ln (2 x + 4)$ و $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot e^{\ln (2 x + 4)} - 2$

خطوة 5.3.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.1

الأُس واللوغاريتم دالتان عكسيتان.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x + 4) - 2$

خطوة 5.3.4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

خطوة 5.3.4.3

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.3.1

أخرِج العامل $2$ من $2 x$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 (x)) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

خطوة 5.3.4.3.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = \frac{1}{2} \cdot (2 x) + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

خطوة 5.3.4.3.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot 4 - 2$

خطوة 5.3.4.4

ألغِ العامل المشترك لـ $2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.4.4.1

أخرِج العامل $2$ من $4$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 (2)) - 2$

خطوة 5.3.4.4.2

ألغِ العامل المشترك.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2$

خطوة 5.3.4.4.3

أعِد كتابة العبارة.

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 2 - 2$

خطوة 5.3.5

جمّع الحدود المتعاكسة في $x + 2 - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.5.1

اطرح $2$ من $2$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x + 0$

خطوة 5.3.5.2

أضف $x$ و $0$ .

$f (\ln (2 x + 4) - 1) = x$

خطوة 5.4

بما أن $f^{- 1} (f (x)) = x$ و $f (f^{- 1} (x)) = x$ ، إذن $f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$ هي معكوس $f (x) = \frac{1}{2} \cdot e^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (2 x + 4) - 1$