حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (\frac{x^{5} - 12}{x})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \frac{x^{5} - 12}{x}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{5} - 12}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

خطوة 2

اضرب في مقلوب الكسر للقسمة على $\frac{x^{5} - 12}{x}$ .

$1 \frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

خطوة 3

اضرب $\frac{x}{x^{5} - 12}$ في $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \frac{d}{d x} [\frac{x^{5} - 12}{x}]$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{5} - 12$ و $g (x) = x$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{5} - 12] - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{5} - 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 12]) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5.3

بما أن $- 12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 12$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4} + 0) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 5.4

أضف $5 x^{4}$ و $0$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{x (5 x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 6

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 (x^{1} x^{4}) - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 7

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{1 + 4} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 8

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

خطوة 9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12) \cdot 1}{x^{2}}$

خطوة 10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{x}{x^{5} - 12} \cdot \frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$

خطوة 10.2

اضرب $\frac{x}{x^{5} - 12}$ في $\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{x^{2}}$ .

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{(x^{5} - 12) x^{2}}$

خطوة 11

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أخرِج العامل $x$ من $(x^{5} - 12) x^{2}$ .

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

خطوة 11.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x (5 x^{5} - (x^{5} - 12))}{x ((x^{5} - 12) x)}$

خطوة 11.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{5 x^{5} - (x^{5} - 12)}{(x^{5} - 12) x}$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{(x^{5} - 12) x}$

خطوة 12.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 x^{5} - x^{5} - - 12}{x^{5} x - 12 x}$

خطوة 12.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.3.1

اضرب $- 1$ في $- 12$ .

$\frac{5 x^{5} - x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

خطوة 12.3.2

اطرح $x^{5}$ من $5 x^{5}$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x - 12 x}$

خطوة 12.4

اضرب $x^{5}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1

اضرب $x^{5}$ في $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.4.1.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5} x^{1} - 12 x}$

خطوة 12.4.1.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{5 + 1} - 12 x}$

خطوة 12.4.2

أضف $5$ و $1$ .

$\frac{4 x^{5} + 12}{x^{6} - 12 x}$

خطوة 12.5

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{5} + 12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.5.1

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{5}$ .

$\frac{4 (x^{5}) + 12}{x^{6} - 12 x}$

خطوة 12.5.2

أخرِج العامل $4$ من $12$ .

$\frac{4 x^{5} + 4 \cdot 3}{x^{6} - 12 x}$

خطوة 12.5.3

أخرِج العامل $4$ من $4 x^{5} + 4 \cdot 3$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x^{6} - 12 x}$

خطوة 12.6

أخرِج العامل $x$ من $x^{6} - 12 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x^{6}$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} - 12 x}$

خطوة 12.6.2

أخرِج العامل $x$ من $- 12 x$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x \cdot x^{5} + x \cdot - 12}$

خطوة 12.6.3

أخرِج العامل $x$ من $x \cdot x^{5} + x \cdot - 12$ .

$\frac{4 (x^{5} + 3)}{x (x^{5} - 12)}$