حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = x^{7} e^{5 x}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = x^{7}$ و $g (x) = e^{5 x}$ .

$x^{7} \frac{d}{d x} [e^{5 x}] + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = 5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $5 x$ .

$x^{7} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$x^{7} (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $5 x$ .

$x^{7} (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x]) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{7} (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x])) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$x^{7} (e^{5 x} (5 \cdot 1)) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 3.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

اضرب $5$ في $1$ .

$x^{7} (e^{5 x} \cdot 5) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 3.3.2

انقُل $5$ إلى يسار $e^{5 x}$ .

$x^{7} (5 \cdot e^{5 x}) + e^{5 x} \frac{d}{d x} [x^{7}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$x^{7} (5 e^{5 x}) + e^{5 x} (7 x^{6})$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$5 e^{5 x} x^{7} + 7 e^{5 x} x^{6}$

خطوة 4.2

أعِد ترتيب العوامل في $5 e^{5 x} x^{7} + 7 e^{5 x} x^{6}$ .

$5 x^{7} e^{5 x} + 7 x^{6} e^{5 x}$