حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{x}{{(7 x - 6)}^{8}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x$ و $g (x) = {(7 x - 6)}^{8}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{({(7 x - 6)}^{8})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب الأُسس في ${({(7 x - 6)}^{8})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{(7 x - 6)}^{8 \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2

اضرب $8$ في $2$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{(7 x - 6)}^{16}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{(7 x - 6)}^{16}}$

خطوة 2.3

اضرب ${(7 x - 6)}^{8}$ في $1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - x \frac{d}{d x} [{(7 x - 6)}^{8}]}{{(7 x - 6)}^{16}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{8}$ و $g (x) = 7 x - 6$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - x (\frac{d}{d u} [u^{8}] \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 8$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - x (8 u^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $7 x - 6$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - x (8 {(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

خطوة 4

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

اضرب $8$ في $- 1$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{8} - 8 x ({(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

خطوة 4.2

أخرِج العامل ${(7 x - 6)}^{7}$ من ${(7 x - 6)}^{8} - 8 x ({(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أخرِج العامل ${(7 x - 6)}^{7}$ من ${(7 x - 6)}^{8}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6) - 8 x ({(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{16}}$

خطوة 4.2.2

أخرِج العامل ${(7 x - 6)}^{7}$ من $- 8 x ({(7 x - 6)}^{7} \frac{d}{d x} [7 x - 6])$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{7} (- 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{16}}$

خطوة 4.2.3

أخرِج العامل ${(7 x - 6)}^{7}$ من ${(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6) + {(7 x - 6)}^{7} (- 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{16}}$

خطوة 5

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أخرِج العامل ${(7 x - 6)}^{7}$ من ${(7 x - 6)}^{16}$ .

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{7} {(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 5.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(7 x - 6)}^{7} (7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6]))}{{(7 x - 6)}^{7} {(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 5.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x - 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $7 x - 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 7

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $7 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 9

اضرب $7$ في $1$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (7 + \frac{d}{d x} [- 6])}{{(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 10

بما أن $- 6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 6$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x (7 + 0)}{{(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 11

بسّط بجمع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 11.1

أضف $7$ و $0$ .

$\frac{7 x - 6 - 8 x \cdot 7}{{(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 11.2

اضرب $7$ في $- 8$ .

$\frac{7 x - 6 - 56 x}{{(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 11.3

اطرح $56 x$ من $7 x$ .

$\frac{- 49 x - 6}{{(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 12

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 12.1

أخرِج العامل $- 1$ من $- 49 x$ .

$\frac{- (49 x) - 6}{{(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 12.2

أعِد كتابة $- 6$ بالصيغة $- 1 (6)$ .

$\frac{- (49 x) - 1 (6)}{{(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 12.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- (49 x) - 1 (6)$ .

$\frac{- (49 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 12.4

أعِد كتابة $- (49 x + 6)$ بالصيغة $- 1 (49 x + 6)$ .

$\frac{- 1 (49 x + 6)}{{(7 x - 6)}^{9}}$

خطوة 12.5

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{49 x + 6}{{(7 x - 6)}^{9}}$