حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{\ln (x)}{1 + x}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = 1 + x$ .

$\frac{(1 + x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 2

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [1 + x]}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 3.3

أضف $0$ و $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x) \cdot 1}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 3.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{(1 + x) \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{1 \frac{1}{x} + x \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اضرب $\frac{1}{x}$ في $1$ .

$\frac{\frac{1}{x} + x \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{\frac{1}{x} + x \frac{1}{x} - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.2.2.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{\frac{1}{x} + 1 - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.3

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $\frac{\frac{1}{x} + 1 - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{\frac{1}{x} + 1 - \ln (x)}{{(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

اجمع.

$\frac{x (\frac{1}{x} + 1 - \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x \frac{1}{x} + x \cdot 1 + x (- \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.3.4

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.4.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x \frac{1}{x} + x \cdot 1 + x (- \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.3.4.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{1 + x \cdot 1 + x (- \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.3.5

اضرب $x$ في $1$ .

$\frac{1 + x + x (- \ln (x))}{x {(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- x \ln (x) + x + 1}{x {(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- x \ln (x)$ .

$\frac{- (x \ln (x)) + x + 1}{x {(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $x$ .

$\frac{- (x \ln (x)) - 1 (- x) + 1}{x {(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x \ln (x)) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x) + 1}{x {(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.8

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)}{x {(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (x \ln (x) - x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x \ln (x) - x - 1)}{x {(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.10

أعِد كتابة $- (x \ln (x) - x - 1)$ بالصيغة $- 1 (x \ln (x) - x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x \ln (x) - x - 1)}{x {(1 + x)}^{2}}$

خطوة 4.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x \ln (x) - x - 1}{x {(1 + x)}^{2}}$