حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \frac{t + 1}{2^{t}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t + 1$ و $g (t) = 2^{t}$ .

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{{(2^{t})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب الأُسس في ${(2^{t})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{t \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2

انقُل $2$ إلى يسار $t$ .

$\frac{2^{t} \frac{d}{d t} [t + 1] - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2^{t} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2^{t} (1 + \frac{d}{d t} [1]) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

خطوة 2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{2^{t} (1 + 0) - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

خطوة 2.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2^{t} \cdot 1 - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

خطوة 2.5.2

اضرب $2^{t}$ في $1$ .

$\frac{2^{t} - (t + 1) \frac{d}{d t} [2^{t}]}{2^{2 t}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ هو $a^{t} \ln (a)$ حيث $a$ = $2$ .

$\frac{2^{t} - (t + 1) (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2^{t} + (- t - 1 \cdot 1) (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 1 \cdot 1 (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

خطوة 4.3

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 1 (2^{t} \ln (2))}{2^{2 t}}$

خطوة 4.3.2

أعِد كتابة $- 1 (2^{t} \ln (2))$ بالصيغة $- (2^{t} \ln (2))$ .

$\frac{2^{t} - t (2^{t} \ln (2)) - 2^{t} \ln (2)}{2^{2 t}}$

$\frac{2^{t} - t \cdot 2^{t} \ln (2) - 2^{t} \ln (2)}{2^{2 t}}$

خطوة 4.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 2^{t} t \ln (2) - 2^{t} \ln (2) + 2^{t}}{2^{2 t}}$