حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$s (x) = 5 e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $5 e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $5 \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ هو $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ حيث $f (x) = e^{- 1.5 x}$ و $g (x) = \cos (2 π x)$ .

$5 (e^{- 1.5 x} \frac{d}{d x} [\cos (2 π x)] + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \cos (x)$ و $g (x) = 2 π x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $2 π x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 π x]) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

خطوة 3.2

مشتق $\cos (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $- \sin (u_{1})$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 π x]) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

خطوة 3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $2 π x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- \sin (2 π x) \frac{d}{d x} [2 π x]) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

خطوة 4

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

بما أن $2 π$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $2 π x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $2 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- \sin (2 π x) (2 π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

خطوة 4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) (π \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

خطوة 4.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) (π \cdot 1)) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

خطوة 4.4

اضرب $π$ في $1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) \frac{d}{d x} [e^{- 1.5 x}])$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = - 1.5 x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $- 1.5 x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 1.5 x]))$

خطوة 5.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ هو $a^{u_{2}} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 1.5 x]))$

خطوة 5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $- 1.5 x$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} \frac{d}{d x} [- 1.5 x]))$

خطوة 6

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بما أن $- 1.5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 1.5 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 1.5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} (- 1.5 \frac{d}{d x} [x])))$

خطوة 6.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} (- 1.5 \cdot 1)))$

خطوة 6.3

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.3.1

اضرب $- 1.5$ في $1$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (e^{- 1.5 x} \cdot - 1.5))$

خطوة 6.3.2

انقُل $- 1.5$ إلى يسار $e^{- 1.5 x}$ .

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π) + \cos (2 π x) (- 1.5 \cdot e^{- 1.5 x}))$

خطوة 7

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

طبّق خاصية التوزيع.

$5 (e^{- 1.5 x} (- 2 \sin (2 π x) π)) + 5 (\cos (2 π x) (- 1.5 e^{- 1.5 x}))$

خطوة 7.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

اضرب $- 2$ في $5$ .

$- 10 (e^{- 1.5 x} (\sin (2 π x) π)) + 5 (\cos (2 π x) (- 1.5 e^{- 1.5 x}))$

خطوة 7.2.2

اضرب $- 1.5$ في $5$ .

$- 10 e^{- 1.5 x} (\sin (2 π x) π) - 7.5 \cos (2 π x) e^{- 1.5 x}$

خطوة 7.3

أعِد ترتيب الحدود.

$- 10 π e^{- 1.5 x} \sin (2 π x) - 7.5 e^{- 1.5 x} \cos (2 π x)$