حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$P (t) = (t^{2} + 100) \ln (t + 2)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ هو $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ حيث $f (t) = t^{2} + 100$ و $g (t) = \ln (t + 2)$ .

$(t^{2} + 100) \frac{d}{d t} [\ln (t + 2)] + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = t + 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t + 2$ .

$(t^{2} + 100) (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d t} [t + 2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$(t^{2} + 100) (\frac{1}{u} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t + 2$ .

$(t^{2} + 100) (\frac{1}{t + 2} \frac{d}{d t} [t + 2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t + 2$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} (1 + \frac{d}{d t} [2]) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

خطوة 3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} (1 + 0) + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

خطوة 3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} \cdot 1 + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

خطوة 3.4.2

اضرب $t^{2} + 100$ في $1$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) \frac{d}{d t} [t^{2} + 100]$

خطوة 3.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 100$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [100]$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [100])$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (2 t + \frac{d}{d t} [100])$

خطوة 3.7

بما أن $100$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $100$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (2 t + 0)$

خطوة 3.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أضف $2 t$ و $0$ .

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + \ln (t + 2) (2 t)$

خطوة 3.8.2

أعِد ترتيب الحدود.

$(t^{2} + 100) \frac{1}{t + 2} + 2 t \ln (t + 2)$