حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = \ln (e^{x} + \ln (x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = e^{x} + \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $e^{x} + \ln (x)$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} \frac{d}{d x} [e^{x} + \ln (x)]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $e^{x} + \ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ هو $a^{x} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

خطوة 4

مشتق $\ln (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)} (e^{x} + \frac{1}{x})$ .

$(e^{x} + \frac{1}{x}) \frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$

خطوة 5.2

اضرب $e^{x} + \frac{1}{x}$ في $\frac{1}{e^{x} + \ln (x)}$ .

$\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

خطوة 5.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

اضرب $\frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$ في $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x}{x} \cdot \frac{e^{x} + \frac{1}{x}}{e^{x} + \ln (x)}$

خطوة 5.3.2

اجمع.

$\frac{x (e^{x} + \frac{1}{x})}{x (e^{x} + \ln (x))}$

خطوة 5.4

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

خطوة 5.5

ألغِ العامل المشترك لـ $x$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.5.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x e^{x} + x \frac{1}{x}}{x e^{x} + x \ln (x)}$

خطوة 5.5.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{x e^{x} + 1}{x e^{x} + x \ln (x)}$

خطوة 5.6

أخرِج العامل $x$ من $x e^{x} + x \ln (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.6.1

أخرِج العامل $x$ من $x e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x \ln (x)}$

خطوة 5.6.2

أخرِج العامل $x$ من $x \ln (x)$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x}) + x (\ln (x))}$

خطوة 5.6.3

أخرِج العامل $x$ من $x (e^{x}) + x (\ln (x))$ .

$\frac{x e^{x} + 1}{x (e^{x} + \ln (x))}$