حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (r) = r^{2} \ln (2 r + 1)$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة الضرب التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [f (r) g (r)]$ هو $f (r) \frac{d}{d r} [g (r)] + g (r) \frac{d}{d r} [f (r)]$ حيث $f (r) = r^{2}$ و $g (r) = \ln (2 r + 1)$ .

$r^{2} \frac{d}{d r} [\ln (2 r + 1)] + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ هو $f' (g (r)) g' (r)$ حيث $f (r) = \ln (r)$ و $g (r) = 2 r + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $2 r + 1$ .

$r^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 2.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$r^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $2 r + 1$ .

$r^{2} (\frac{1}{2 r + 1} \frac{d}{d r} [2 r + 1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $\frac{1}{2 r + 1}$ و $r^{2}$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} \frac{d}{d r} [2 r + 1] + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 r + 1$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (\frac{d}{d r} [2 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 3.3

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $2 r$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $2 \frac{d}{d r} [r]$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 3.5

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 + \frac{d}{d r} [1]) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 3.6

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} (2 + 0) + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 3.7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

أضف $2$ و $0$ .

$\frac{r^{2}}{2 r + 1} \cdot 2 + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 3.7.2

اجمع $\frac{r^{2}}{2 r + 1}$ و $2$ .

$\frac{r^{2} \cdot 2}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 3.7.3

انقُل $2$ إلى يسار $r^{2}$ .

$\frac{2 \cdot r^{2}}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2}]$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 r^{2}}{2 r + 1} + \ln (2 r + 1) (2 r)$

خطوة 4

لكتابة $\ln (2 r + 1) (2 r)$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2 r + 1}{2 r + 1}$ .

$\frac{2 r^{2}}{2 r + 1} + \frac{\ln (2 r + 1) (2 r) (2 r + 1)}{2 r + 1}$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{2 r^{2} + \ln (2 r + 1) (2 r) (2 r + 1)}{2 r + 1}$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln (2 r + 1) r (2 r + 1)}{2 r + 1}$

خطوة 6.1.2

بسّط $2 \ln (2 r + 1)$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r (2 r + 1)}{2 r + 1}$

خطوة 6.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r (2 r) + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot 1}{2 r + 1}$

خطوة 6.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot r + \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot 1}{2 r + 1}$

خطوة 6.1.5

اضرب $\ln ({(2 r + 1)}^{2})$ في $1$ .

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r \cdot r + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

خطوة 6.1.6

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.6.1

اضرب $r$ في $r$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.6.1.1

انقُل $r$ .

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) (r \cdot r) + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

خطوة 6.1.6.1.2

اضرب $r$ في $r$ .

$\frac{2 r^{2} + 2 \ln ({(2 r + 1)}^{2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

خطوة 6.1.6.2

بسّط $2 \ln ({(2 r + 1)}^{2})$ بنقل $2$ داخل اللوغاريتم.

$\frac{2 r^{2} + \ln ({({(2 r + 1)}^{2})}^{2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

خطوة 6.1.6.3

اضرب الأُسس في ${({(2 r + 1)}^{2})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1.6.3.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{2 \cdot 2}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

خطوة 6.1.6.3.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \cdot \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

$\frac{2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$

خطوة 6.2

أعِد ترتيب العوامل في $2 r^{2} + \ln ({(2 r + 1)}^{4}) r^{2} + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})$ .

$\frac{2 r^{2} + r^{2} \ln ({(2 r + 1)}^{4}) + r \ln ({(2 r + 1)}^{2})}{2 r + 1}$