حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (z) = \frac{1}{z^{2} + 1}$

خطوة 1

أعِد كتابة $\frac{1}{z^{2} + 1}$ بالصيغة ${(z^{2} + 1)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d z} [{(z^{2} + 1)}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ هو $f' (g (z)) g' (z)$ حيث $f (z) = z^{- 1}$ و $g (z) = z^{2} + 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $z^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $z^{2} + 1$ .

$- {(z^{2} + 1)}^{- 2} \frac{d}{d z} [z^{2} + 1]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $z^{2} + 1$ بالنسبة إلى $z$ هو $\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1]$ .

$- {(z^{2} + 1)}^{- 2} (\frac{d}{d z} [z^{2}] + \frac{d}{d z} [1])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ هو $n z^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- {(z^{2} + 1)}^{- 2} (2 z + \frac{d}{d z} [1])$

خطوة 3.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $z$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $z$ هو $0$ .

$- {(z^{2} + 1)}^{- 2} (2 z + 0)$

خطوة 3.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

أضف $2 z$ و $0$ .

$- {(z^{2} + 1)}^{- 2} (2 z)$

خطوة 3.4.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$- 2 {(z^{2} + 1)}^{- 2} z$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(z^{2} + 1)}^{2}} z$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 2}{{(z^{2} + 1)}^{2}} z$

خطوة 4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2}{{(z^{2} + 1)}^{2}} z$

خطوة 4.2.3

اجمع $z$ و $\frac{2}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{z \cdot 2}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 4.2.4

انقُل $2$ إلى يسار $z$ .

$- \frac{2 z}{{(z^{2} + 1)}^{2}}$