حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = \frac{x^{2} + 1}{x^{5}}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = x^{2} + 1$ و $g (x) = x^{5}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اضرب الأُسس في ${(x^{5})}^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

خطوة 2.1.2

اضرب $5$ في $2$ .

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1] - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x^{2} + 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{x^{5} (2 x + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{x^{5} (2 x + 0) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 2.5

أضف $2 x$ و $0$ .

$\frac{x^{5} (2 x) - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3

اضرب $x^{5}$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $x$ .

$\frac{x \cdot x^{5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.2

اضرب $x$ في $x^{5}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

ارفع $x$ إلى القوة $1$ .

$\frac{x^{1} x^{5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{x^{1 + 5} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 3.3

أضف $1$ و $5$ .

$\frac{x^{6} \cdot 2 - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 4

انقُل $2$ إلى يسار $x^{6}$ .

$\frac{2 \cdot x^{6} - (x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

خطوة 5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$\frac{2 x^{6} - (x^{2} + 1) (5 x^{4})}{x^{10}}$

خطوة 6

بسّط بالتحليل إلى عوامل.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{6} - 5 (x^{2} + 1) x^{4}}{x^{10}}$

خطوة 6.2

أخرِج العامل $x^{4}$ من $2 x^{6} - 5 (x^{2} + 1) x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $2 x^{6}$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2}) - 5 (x^{2} + 1) x^{4}}{x^{10}}$

خطوة 6.2.2

أخرِج العامل $x^{4}$ من $- 5 (x^{2} + 1) x^{4}$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))}{x^{10}}$

خطوة 6.2.3

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{4} (2 x^{2}) + x^{4} (- 5 (x^{2} + 1))$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{10}}$

خطوة 7

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

أخرِج العامل $x^{4}$ من $x^{10}$ .

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{4} x^{6}}$

خطوة 7.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{x^{4} (2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1))}{x^{4} x^{6}}$

خطوة 7.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2 x^{2} - 5 (x^{2} + 1)}{x^{6}}$

خطوة 8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 5 \cdot 1}{x^{6}}$

خطوة 8.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.2.1

اضرب $- 5$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x^{2} - 5}{x^{6}}$

خطوة 8.2.2

اطرح $5 x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - 5}{x^{6}}$

خطوة 8.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- (3 x^{2}) - 5}{x^{6}}$

خطوة 8.4

أعِد كتابة $- 5$ بالصيغة $- 1 (5)$ .

$\frac{- (3 x^{2}) - 1 (5)}{x^{6}}$

خطوة 8.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (3 x^{2}) - 1 (5)$ .

$\frac{- (3 x^{2} + 5)}{x^{6}}$

خطوة 8.6

أعِد كتابة $- (3 x^{2} + 5)$ بالصيغة $- 1 (3 x^{2} + 5)$ .

$\frac{- 1 (3 x^{2} + 5)}{x^{6}}$

خطوة 8.7

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{3 x^{2} + 5}{x^{6}}$