حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$g (x) = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 5}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ هو $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ حيث $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ و $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{2}] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = x^{2}$ و $g (x) = x - 1$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x - 1$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(x - 5) (2 u \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x - 1$ .

$\frac{(x - 5) (2 (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $2$ إلى يسار $x - 5$ .

$\frac{2 \cdot (x - 5) (x - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.4

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) (1 + 0) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.5

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) \cdot 1 - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

اضرب $2$ في $1$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $x - 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.8

بما أن $- 5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، فإن مشتق $- 5$ بالنسبة إلى $x$ هو $0$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.9

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.9.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2} \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 3.9.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 (x - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 5) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.1

اضرب $2$ في $- 5$ .

$\frac{(2 x - 10) (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2

وسّع $(2 x - 10) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x (x - 1) - 10 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 10 (x - 1) - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1.1

اضرب $x$ في $x$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.3.1.1.1

انقُل $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3.1.1.2

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 1 - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3.1.2

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 10 x - 10 \cdot - 1 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3.1.3

اضرب $- 10$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 10 x + 10 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.3.2

اطرح $10 x$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - {(x - 1)}^{2}}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.4

أعِد كتابة ${(x - 1)}^{2}$ بالصيغة $(x - 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - ((x - 1) (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.5

وسّع $(x - 1) (x - 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x (x - 1) - 1 (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.6.1.1

اضرب $x$ في $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.6.1.2

انقُل $- 1$ إلى يسار $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.6.1.3

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.6.1.4

أعِد كتابة $- 1 x$ بالصيغة $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.6.1.5

اضرب $- 1$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - x - x + 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.6.2

اطرح $x$ من $- x$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - (x^{2} - 2 x + 1)}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1.8.1

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.1.8.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 12 x + 10 - x^{2} + 2 x - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.2

اطرح $x^{2}$ من $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 12 x + 10 + 2 x - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.3

أضف $- 12 x$ و $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 10 - 1}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.2.4

اطرح $1$ من $10$ .

$\frac{x^{2} - 10 x + 9}{{(x - 5)}^{2}}$

خطوة 4.3

حلّل $x^{2} - 10 x + 9$ إلى عوامل باستخدام طريقة AC.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

ضع في اعتبارك الصيغة $x^{2} + b x + c$ . ابحث عن زوج من الأعداد الصحيحة حاصل ضربهما $c$ ومجموعهما $b$ . في هذه الحالة، حاصل ضربهما $9$ ومجموعهما $- 10$ .

$- 9, - 1$

خطوة 4.3.2

اكتب الصيغة المحلّلة إلى عوامل مستخدمًا هذه الأعداد الصحيحة.

$\frac{(x - 9) (x - 1)}{{(x - 5)}^{2}}$