حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 1

اكتب التكامل في صورة نهاية عند اقتراب $t$ من $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{3}} d x$

خطوة 2

طبّق القواعد الأساسية للأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

انقُل $x^{3}$ خارج القاسم برفعها إلى القوة $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{3})}^{- 1} d x$

خطوة 2.2

اضرب الأُسس في ${(x^{3})}^{- 1}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

طبّق قاعدة القوة واضرب الأُسس، ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{3 \cdot - 1} d x$

خطوة 2.2.2

اضرب $3$ في $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- 3} d x$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة القوة، فإن تكامل $x^{- 3}$ بالنسبة إلى $x$ هو $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{t}$

خطوة 4

عوّض وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ في $t$ وفي $1$ .

$lim_{t \to \infty} (- \frac{1}{2} t^{- 2}) + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

خطوة 4.2

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $t^{- 2}$ و $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

خطوة 4.2.2

انقُل $t^{- 2}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1^{- 2}$

خطوة 4.2.3

العدد واحد مرفوع لأي قوة يساوي واحدًا.

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2} \cdot 1$

خطوة 4.2.4

اضرب $\frac{1}{2}$ في $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2 t^{2}} + \frac{1}{2}$

خطوة 5

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1.1

قسّم النهاية بتطبيق قاعدة مجموع النهايات على النهاية بينما يقترب $t$ من $\infty$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{1}{2 t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

خطوة 5.1.2

انقُل الحد $\frac{1}{2}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{2}} + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

خطوة 5.2

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{t^{2}}$ يقترب من $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + lim_{t \to \infty} \frac{1}{2}$

خطوة 5.3

احسِب قيمة النهاية.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.1

احسِب قيمة حد $\frac{1}{2}$ الذي يظل ثابتًا مع اقتراب $t$ من $\infty$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.2

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1

اضرب $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.3.2.1.1

اضرب $0$ في $- 1$ .

$0 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.2.1.2

اضرب $0$ في $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2}$

خطوة 5.3.2.2

أضف $0$ و $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2}$

خطوة 6

يمكن عرض النتيجة بصيغ متعددة.

الصيغة التامة:

$\frac{1}{2}$

الصيغة العشرية:

$0.5$