حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$

خطوة 1

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

أوجِد المشتق الأول.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

خطوة 1.1.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [3 x^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.2.1

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $3 x^{4}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

خطوة 1.1.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$f' (x) = 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

خطوة 1.1.2.3

اضرب $4$ في $3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{3}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

خطوة 1.1.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 16 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.3.1

بما أن $- 16$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 16 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

خطوة 1.1.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

خطوة 1.1.3.3

اضرب $3$ في $- 16$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + \frac{d}{d x} (18 x^{2})$

خطوة 1.1.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [18 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1.4.1

بما أن $18$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $18 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $18 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 \frac{d}{d x} (x^{2})$

خطوة 1.1.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 18 (2 x)$

خطوة 1.1.4.3

اضرب $2$ في $18$ .

$f' (x) = 12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$

خطوة 1.2

أوجِد المشتق الثاني.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $12 x^{3} - 48 x^{2} + 36 x$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [12 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 48 x^{2}] + \frac{d}{d x} [36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

خطوة 1.2.2

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [12 x^{3}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.2.1

بما أن $12$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $12 x^{3}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

خطوة 1.2.2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$f'' (x) = 12 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

خطوة 1.2.2.3

اضرب $3$ في $12$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 48 x^{2}) + \frac{d}{d x} (36 x)$

خطوة 1.2.3

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [- 48 x^{2}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.3.1

بما أن $- 48$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $- 48 x^{2}$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- 48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (36 x)$

خطوة 1.2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 48 (2 x) + \frac{d}{d x} (36 x)$

خطوة 1.2.3.3

اضرب $2$ في $- 48$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + \frac{d}{d x} (36 x)$

خطوة 1.2.4

احسِب قيمة $\frac{d}{d x} [36 x]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.2.4.1

بما أن $36$ عدد ثابت بالنسبة إلى $x$ ، إذن مشتق $36 x$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \frac{d}{d x} (x)$

خطوة 1.2.4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36 \cdot 1$

خطوة 1.2.4.3

اضرب $36$ في $1$ .

$f'' (x) = 36 x^{2} - 96 x + 36$

خطوة 1.3

المشتق الثاني لـ $f (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36$

خطوة 2

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ ثم حل المعادلة $36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

عيّن قيمة المشتق الثاني بحيث تصبح مساوية لـ $0$ .

$36 x^{2} - 96 x + 36 = 0$

خطوة 2.2

أخرِج العامل $12$ من $36 x^{2} - 96 x + 36$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.2.1

أخرِج العامل $12$ من $36 x^{2}$ .

$12 (3 x^{2}) - 96 x + 36 = 0$

خطوة 2.2.2

أخرِج العامل $12$ من $- 96 x$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 36 = 0$

خطوة 2.2.3

أخرِج العامل $12$ من $36$ .

$12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x) + 12 (3) = 0$

خطوة 2.2.4

أخرِج العامل $12$ من $12 (3 x^{2}) + 12 (- 8 x)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3) = 0$

خطوة 2.2.5

أخرِج العامل $12$ من $12 (3 x^{2} - 8 x) + 12 (3)$ .

$12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$

خطوة 2.3

اقسِم كل حد في $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ على $12$ وبسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

اقسِم كل حد في $12 (3 x^{2} - 8 x + 3) = 0$ على $12$ .

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

خطوة 2.3.2

بسّط الطرف الأيسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1

ألغِ العامل المشترك لـ $12$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.2.1.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{12 (3 x^{2} - 8 x + 3)}{12} = \frac{0}{12}$

خطوة 2.3.2.1.2

اقسِم $3 x^{2} - 8 x + 3$ على $1$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = \frac{0}{12}$

خطوة 2.3.3

بسّط الطرف الأيمن.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

اقسِم $0$ على $12$ .

$3 x^{2} - 8 x + 3 = 0$

خطوة 2.4

استخدِم الصيغة التربيعية لإيجاد الحلول.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

خطوة 2.5

عوّض بقيم $a = 3$ و $b = - 8$ و $c = 3$ في الصيغة التربيعية وأوجِد قيمة $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 3)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.2.2

اضرب $- 12$ في $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.3

اطرح $36$ من $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.4

أعِد كتابة $28$ بالصيغة $2^{2} \cdot 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.6.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.6.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

خطوة 2.6.3

بسّط $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

خطوة 2.7

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $+$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.2.2

اضرب $- 12$ في $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.3

اطرح $36$ من $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.4

أعِد كتابة $28$ بالصيغة $2^{2} \cdot 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.7.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.7.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

خطوة 2.7.3

بسّط $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

خطوة 2.7.4

غيّر $\pm$ إلى $+$ .

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}$

خطوة 2.8

بسّط العبارة لإيجاد قيمة الجزء $-$ من $\pm$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.1

ارفع $- 8$ إلى القوة $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.2

اضرب $- 4 \cdot 3 \cdot 3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.2.1

اضرب $- 4$ في $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 12 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.2.2

اضرب $- 12$ في $3$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.3

اطرح $36$ من $64$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.4

أعِد كتابة $28$ بالصيغة $2^{2} \cdot 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1.4.1

أخرِج العامل $4$ من $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.4.2

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.1.5

أخرِج الحدود من تحت الجذر.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

خطوة 2.8.2

اضرب $2$ في $3$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

خطوة 2.8.3

بسّط $\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{7}}{3}$

خطوة 2.8.4

غيّر $\pm$ إلى $-$ .

$x = \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

خطوة 2.9

الإجابة النهائية هي تركيبة من كلا الحلّين.

$x = \frac{4 + \sqrt{7}}{3}, \frac{4 - \sqrt{7}}{3}$

خطوة 3

أوجِد النقاط التي يكون فيها المشتق الثاني هو $0$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

عوّض بقيمة $2.21525043$ في $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.21525043$ في العبارة.

$f (2.21525043) = 3 {(2.21525043)}^{4} - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

خطوة 3.1.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.1.1

ارفع $2.21525043$ إلى القوة $4$ .

$f (2.21525043) = 3 \cdot 24.08193188 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.2

اضرب $3$ في $24.08193188$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 {(2.21525043)}^{3} + 18 {(2.21525043)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.3

ارفع $2.21525043$ إلى القوة $3$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 16 \cdot 10.87097489 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.4

اضرب $- 16$ في $10.87097489$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 {(2.21525043)}^{2}$

خطوة 3.1.2.1.5

ارفع $2.21525043$ إلى القوة $2$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 18 \cdot 4.90733449$

خطوة 3.1.2.1.6

اضرب $18$ في $4.90733449$ .

$f (2.21525043) = 72.24579564 - 173.93559828 + 88.33202097$

خطوة 3.1.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.2.2.1

اطرح $173.93559828$ من $72.24579564$ .

$f (2.21525043) = - 101.68980263 + 88.33202097$

خطوة 3.1.2.2.2

أضف $- 101.68980263$ و $88.33202097$ .

$f (2.21525043) = - 13.35778166$

خطوة 3.1.2.3

الإجابة النهائية هي $- 13.35778166$ .

$- 13.35778166$

خطوة 3.2

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $2.21525043$ في $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ هي $(2.21525043, - 13.35778166)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(2.21525043, - 13.35778166)$

خطوة 3.3

عوّض بقيمة $0.45141622$ في $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ لإيجاد قيمة $y$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.45141622$ في العبارة.

$f (0.45141622) = 3 {(0.45141622)}^{4} - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

خطوة 3.3.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.1.1

ارفع $0.45141622$ إلى القوة $4$ .

$f (0.45141622) = 3 \cdot 0.0415249 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.2

اضرب $3$ في $0.0415249$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 {(0.45141622)}^{3} + 18 {(0.45141622)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.3

ارفع $0.45141622$ إلى القوة $3$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 16 \cdot 0.09198807 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.4

اضرب $- 16$ في $0.09198807$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 {(0.45141622)}^{2}$

خطوة 3.3.2.1.5

ارفع $0.45141622$ إلى القوة $2$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 18 \cdot 0.20377661$

خطوة 3.3.2.1.6

اضرب $18$ في $0.20377661$ .

$f (0.45141622) = 0.12457472 - 1.47180912 + 3.66797902$

خطوة 3.3.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.2.2.1

اطرح $1.47180912$ من $0.12457472$ .

$f (0.45141622) = - 1.34723439 + 3.66797902$

خطوة 3.3.2.2.2

أضف $- 1.34723439$ و $3.66797902$ .

$f (0.45141622) = 2.32074462$

خطوة 3.3.2.3

الإجابة النهائية هي $2.32074462$ .

$2.32074462$

خطوة 3.4

النقطة التي تم إيجادها بالتعويض بـ $0.45141622$ في $f (x) = 3 x^{4} - 16 x^{3} + 18 x^{2}$ هي $(0.45141622, 2.32074462)$ . ويمكن أن تكون هذه النقطة نقطة انقلاب.

$(0.45141622, 2.32074462)$

خطوة 3.5

حدد النقاط التي يمكن أن تكون نقاط انقلاب.

$(2.21525043, - 13.35778166), (0.45141622, 2.32074462)$

خطوة 4

قسّم $(- \infty, \infty)$ إلى فترات حول النقاط التي من المحتمل أن تكون نقاط انقلاب.

$(- \infty, 0.45141622) \cup (0.45141622, 2.21525043) \cup (2.21525043, \infty)$

خطوة 5

عوّض بقيمة من الفترة $(- \infty, 0.45141622)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $0.35141622$ في العبارة.

$f'' (0.35141622) = 36 {(0.35141622)}^{2} - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

خطوة 5.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.1.1

ارفع $0.35141622$ إلى القوة $2$ .

$f'' (0.35141622) = 36 \cdot 0.12349336 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

خطوة 5.2.1.2

اضرب $36$ في $0.12349336$ .

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 96 \cdot 0.35141622 + 36$

خطوة 5.2.1.3

اضرب $- 96$ في $0.35141622$ .

$f'' (0.35141622) = 4.44576119 - 33.73595804 + 36$

خطوة 5.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.2.2.1

اطرح $33.73595804$ من $4.44576119$ .

$f'' (0.35141622) = - 29.29019685 + 36$

خطوة 5.2.2.2

أضف $- 29.29019685$ و $36$ .

$f'' (0.35141622) = 6.70980314$

خطوة 5.2.3

الإجابة النهائية هي $6.70980314$ .

$6.70980314$

خطوة 5.3

في $0.35141622$ ، المشتق الثاني هو $6.70980314$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(- \infty, 0.45141622)$ .

تزايد خلال $(- \infty, 0.45141622)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 6

عوّض بقيمة من الفترة $(0.45141622, 2.21525043)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $1.\overline{3}$ في العبارة.

$f'' (1.\overline{3}) = 36 {(1.\overline{3})}^{2} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

خطوة 6.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.1.1

ارفع $1.\overline{3}$ إلى القوة $2$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 36 \cdot 1.\overline{7} - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

خطوة 6.2.1.2

اضرب $36$ في $1.\overline{7}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 96 \cdot 1.\overline{3} + 36$

خطوة 6.2.1.3

اضرب $- 96$ في $1.\overline{3}$ .

$f'' (1.\overline{3}) = 64 - 128 + 36$

خطوة 6.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.2.2.1

اطرح $128$ من $64$ .

$f'' (1.\overline{3}) = - 64 + 36$

خطوة 6.2.2.2

أضف $- 64$ و $36$ .

$f'' (1.\overline{3}) = - 28$

خطوة 6.2.3

الإجابة النهائية هي $- 28$ .

$- 28$

خطوة 6.3

المشتق الثاني عند $1.\overline{3}$ يساوي $- 28$ . وبما أنه سالب، فإن المشتق الثاني يتناقص خلال الفترة $(0.45141622, 2.21525043)$

تناقص خلال $(0.45141622, 2.21525043)$ حيث إن $f'' (x) < 0$

خطوة 7

عوّض بقيمة من الفترة $(2.21525043, \infty)$ في المشتق الثاني لتحديد ما إذا كان يتزايد أم يتناقص.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

استبدِل المتغير $x$ بـ $2.31525043$ في العبارة.

$f'' (2.31525043) = 36 {(2.31525043)}^{2} - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

خطوة 7.2

بسّط النتيجة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.1.1

ارفع $2.31525043$ إلى القوة $2$ .

$f'' (2.31525043) = 36 \cdot 5.36038458 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

خطوة 7.2.1.2

اضرب $36$ في $5.36038458$ .

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 96 \cdot 2.31525043 + 36$

خطوة 7.2.1.3

اضرب $- 96$ في $2.31525043$ .

$f'' (2.31525043) = 192.9738451 - 222.26404195 + 36$

خطوة 7.2.2

بسّط عن طريق الجمع والطرح.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.2.2.1

اطرح $222.26404195$ من $192.9738451$ .

$f'' (2.31525043) = - 29.29019685 + 36$

خطوة 7.2.2.2

أضف $- 29.29019685$ و $36$ .

$f'' (2.31525043) = 6.70980314$

خطوة 7.2.3

الإجابة النهائية هي $6.70980314$ .

$6.70980314$

خطوة 7.3

في $2.31525043$ ، المشتق الثاني هو $6.70980314$ . نظرًا إلى أن هذا موجب، فإن المشتق الثاني يتزايد على مدى الفترة $(2.21525043, \infty)$ .

تزايد خلال $(2.21525043, \infty)$ نظرًا إلى أن $f'' (x) > 0$

خطوة 8

An inflection point is a point on a curve at which the concavity changes sign from plus to minus or from minus to plus. The inflection points in this case are $(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$ .

$(0.45141622, 2.32074462), (2.21525043, - 13.35778166)$

خطوة 9