حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$f (x) = \ln (\sin (x) + \cos (x))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = \ln (x)$ و $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u)$ بالنسبة إلى $u$ يساوي $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

خطوة 2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\sin (x) + \cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ هو $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 3

مشتق $\sin (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $\cos (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

خطوة 4

مشتق $\cos (x)$ بالنسبة إلى $x$ يساوي $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$

خطوة 5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 5.1

أعِد ترتيب عوامل $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} (\cos (x) - \sin (x))$ .

$(\cos (x) - \sin (x)) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

خطوة 5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\cos (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)} - \sin (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

خطوة 5.3

اجمع $\cos (x)$ و $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)} - \sin (x) \frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$

خطوة 5.4

اجمع $\frac{1}{\sin (x) + \cos (x)}$ و $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) + \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

خطوة 5.5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$