حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$y = \sqrt{1 - 2 a x + x^{2}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{1 - 2 a x + x^{2}}$ في صورة ${(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d a} [{(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ هو $f' (g (a)) g' (a)$ حيث $f (a) = a^{\frac{1}{2}}$ و $g (a) = 1 - 2 a x + x^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $1 - 2 a x + x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d a} [1 - 2 a x + x^{2}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [1 - 2 a x + x^{2}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $1 - 2 a x + x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d a} [1 - 2 a x + x^{2}]$

خطوة 3

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d a} [1 - 2 a x + x^{2}]$

خطوة 4

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [1 - 2 a x + x^{2}]$

خطوة 5

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{1}{2} {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d a} [1 - 2 a x + x^{2}]$

خطوة 6

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 6.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d a} [1 - 2 a x + x^{2}]$

خطوة 6.2

اطرح $2$ من $1$ .

$\frac{1}{2} {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d a} [1 - 2 a x + x^{2}]$

خطوة 7

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{1}{2} {(1 - 2 a x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d a} [1 - 2 a x + x^{2}]$

خطوة 7.2

اجمع $\frac{1}{2}$ و ${(1 - 2 a x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(1 - 2 a x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d a} [1 - 2 a x + x^{2}]$

خطوة 7.3

انقُل ${(1 - 2 a x + x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d a} [1 - 2 a x + x^{2}]$

خطوة 8

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 - 2 a x + x^{2}$ بالنسبة إلى $a$ هو $\frac{d}{d a} [1] + \frac{d}{d a} [- 2 a x] + \frac{d}{d a} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d a} [1] + \frac{d}{d a} [- 2 a x] + \frac{d}{d a} [x^{2}])$

خطوة 9

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $a$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d a} [- 2 a x] + \frac{d}{d a} [x^{2}])$

خطوة 10

أضف $0$ و $\frac{d}{d a} [- 2 a x]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d a} [- 2 a x] + \frac{d}{d a} [x^{2}])$

خطوة 11

بما أن $- 2 x$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، إذن مشتق $- 2 a x$ بالنسبة إلى $a$ يساوي $- 2 x \frac{d}{d a} [a]$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [x^{2}])$

خطوة 12

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ هو $n a^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d a} [x^{2}])$

خطوة 13

اضرب $- 2$ في $1$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x + \frac{d}{d a} [x^{2}])$

خطوة 14

بما أن $x^{2}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $a$ ، فإن مشتق $x^{2}$ بالنسبة إلى $a$ هو $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x + 0)$

خطوة 15

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 15.1

أضف $- 2 x$ و $0$ .

$\frac{1}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

خطوة 15.2

اجمع $- 2$ و $\frac{1}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

خطوة 15.3

اجمع $\frac{- 2}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ و $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 15.4

أخرِج العامل $2$ من $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أخرِج العامل $2$ من $2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 16.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (- x)}{2 {(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 16.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{- x}{{(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 17

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{x}{{(1 - 2 a x + x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$