حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{\sqrt[3]{8 + h} - 2}{h}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt[3]{8 + h}$ في صورة ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d h} [\frac{{(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2}{h}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [\frac{f (h)}{g (h)}]$ هو $\frac{g (h) \frac{d}{d h} [f (h)] - f (h) \frac{d}{d h} [g (h)]}{{g (h)}^{2}}$ حيث $f (h) = {(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2$ و $g (h) = h$ .

$\frac{h \frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2] - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2]$ .

$\frac{h (\frac{d}{d h} [{(8 + h)}^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d h} [f (g (h))]$ هو $f' (g (h)) g' (h)$ حيث $f (h) = h^{\frac{1}{3}}$ و $g (h) = 8 + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $8 + h$ .

$\frac{h (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 4.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 4.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $8 + h$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 5

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{3}{3}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 6

اجمع $- 1$ و $\frac{3}{3}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 7

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 8

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 8.1

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 8.2

اطرح $3$ من $1$ .

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 9

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 9.1

انقُل السالب أمام الكسر.

$\frac{h (\frac{1}{3} {(8 + h)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 9.2

اجمع $\frac{1}{3}$ و ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{h (\frac{{(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 9.3

انقُل ${(8 + h)}^{- \frac{2}{3}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [8 + h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 10

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 + h$ بالنسبة إلى $h$ هو $\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d h} [8] + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 11

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $8$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} (0 + \frac{d}{d h} [h]) + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 12

أضف $0$ و $\frac{d}{d h} [h]$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d h} [h] + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 13

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1 + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 14

اضرب $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ في $1$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + \frac{d}{d h} [- 2]) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 15

بما أن $- 2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $h$ ، فإن مشتق $- 2$ بالنسبة إلى $h$ هو $0$ .

$\frac{h (\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 0) - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 16

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 16.1

أضف $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ و $0$ .

$\frac{h \frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 16.2

اجمع $h$ و $\frac{1}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 17

اضرب $\frac{\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$ في $\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h]}{h^{2}}$

خطوة 18

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.1

اجمع.

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (\frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} - ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 18.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (- ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 18.3

ألغِ العامل المشترك لـ $3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 18.3.1

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \frac{h}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}} + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (- ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 18.3.2

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (- ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 18.4

اضرب $- 1$ في $3$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \frac{d}{d h} [h])}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 19

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d h} [h^{n}]$ هو $n h^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} (({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2) \cdot 1)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 20

اضرب ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2$ في $1$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 2)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} {(8 + h)}^{\frac{1}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.2

اضرب ${(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ في ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1.2.1

انقُل ${(8 + h)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{h - 3 ({(8 + h)}^{\frac{1}{3}} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.2.3

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{1 + 2}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.2.4

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{\frac{3}{3}} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.2.5

اقسِم $3$ على $3$ .

$\frac{h - 3 {(8 + h)}^{1} - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.3

بسّط $- 3 {(8 + h)}^{1}$ .

$\frac{h - 3 (8 + h) - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} \cdot - 2}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.4

اضرب $- 2$ في $- 3$ .

$\frac{h - 3 (8 + h) + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.5

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{h - 3 \cdot 8 - 3 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.5.2

اضرب $- 3$ في $8$ .

$\frac{h - 24 - 3 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.6

اطرح $3 h$ من $h$ .

$\frac{- 2 h - 24 + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.7

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- 2 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 24}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.8

أخرِج العامل $2$ من $- 2 h + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 24$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 21.1.8.1

أخرِج العامل $2$ من $- 2 h$ .

$\frac{2 (- h) + 6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 24}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.8.2

أخرِج العامل $2$ من $6 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 (- h) + 2 (3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 24}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.8.3

أخرِج العامل $2$ من $- 24$ .

$\frac{2 (- h) + 2 (3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (- 12)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.8.4

أخرِج العامل $2$ من $2 (- h) + 2 (3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}})$ .

$\frac{2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (- 12)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.1.8.5

أخرِج العامل $2$ من $2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) + 2 (- 12)$ .

$\frac{2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 12)}{3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} h^{2}}$

خطوة 21.2

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{2 (- h + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.3

أخرِج العامل $- 1$ من $- h$ .

$\frac{2 (- (h) + 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.4

أخرِج العامل $- 1$ من $3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{2 (- (h) - (- 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- (h) - (- 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}})$ .

$\frac{2 (- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.6

أعِد كتابة $- 12$ بالصيغة $- 1 (12)$ .

$\frac{2 (- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 1 (12))}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}) - 1 (12)$ .

$\frac{2 (- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12))}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.8

أعِد كتابة $- (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12)$ بالصيغة $- 1 (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12)$ .

$\frac{2 (- 1 (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12))}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$

خطوة 21.9

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{2 (h - 3 {(8 + h)}^{\frac{2}{3}} + 12)}{3 h^{2} {(8 + h)}^{\frac{2}{3}}}$