حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$lim_{x \to \infty} x^{5} e^{- x^{4}}$

خطوة 1

أعِد كتابة $x^{5} e^{- x^{4}}$ بالصيغة $\frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}}$

خطوة 2

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

خطوة 2.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

خطوة 2.1.3

بما أن الأُس $x^{4}$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x^{4}}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{\infty}{\infty}$

خطوة 2.2

بما أن $\frac{\infty}{\infty}$ مكتوبة بصيغة غير معيّنة، طبّق قاعدة لوبيتال. تنص قاعدة لوبيتال على أن نهاية ناتج قسمة الدوال يساوي نهاية ناتج قسمة مشتقاتها.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

خطوة 2.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

خطوة 2.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

خطوة 2.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

خطوة 2.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

خطوة 2.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

خطوة 2.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{e^{x^{4}} (4 x^{3})}$

خطوة 2.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.3.5.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{4}} (4 x^{3})$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

خطوة 2.3.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

خطوة 2.4

احذِف العامل المشترك لـ $x^{4}$ و $x^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $5 x^{4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

خطوة 2.4.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.2.1

أخرِج العامل $x^{3}$ من $4 x^{3} e^{x^{4}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

خطوة 2.4.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3} (5 x)}{x^{3} (4 e^{x^{4}})}$

خطوة 2.4.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x}{4 e^{x^{4}}}$

خطوة 3

انقُل الحد $\frac{5}{4}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}}$

خطوة 4

طبّق قاعدة لوبيتال.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

احسِب قيمة حد بسط الكسر وحد القاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

خُذ نهاية بسط الكسر ونهاية القاسم.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

خطوة 4.1.2

النهاية عند ما لا نهاية متعدد حدود معامله الرئيسي موجب تساوي ما لا نهاية.

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x^{4}}}$

خطوة 4.1.3

بما أن الأُس $x^{4}$ يقترب من $\infty$ ، إذن الكمية $e^{x^{4}}$ تقترب من $\infty$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 4.1.4

ناتج قسمة ما لا نهاية على ما لا نهاية يساوي قيمة غير معرّفة.

غير معرّف

$\frac{5}{4} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

خطوة 4.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^{x^{4}}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

خطوة 4.3

أوجِد مشتق بسط الكسر والقاسم.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أوجِد مشتقة البسط والقاسم.

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

خطوة 4.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]}$

خطوة 4.3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ هو $f' (g (x)) g' (x)$ حيث $f (x) = e^{x}$ و $g (x) = x^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.3.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $x^{4}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

خطوة 4.3.3.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $e$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{u} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

خطوة 4.3.3.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $x^{4}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}]}$

خطوة 4.3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ هو $n x^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^{x^{4}} \cdot 4 x^{3}}$

خطوة 4.3.5

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.5.1

أعِد ترتيب عوامل $e^{x^{4}} (4 x^{3})$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 e^{x^{4}} x^{3}}$

خطوة 4.3.5.2

أعِد ترتيب العوامل في $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$\frac{5}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{4 x^{3} e^{x^{4}}}$

خطوة 5

انقُل الحد $\frac{1}{4}$ خارج النهاية لأنه ثابت بالنسبة إلى $x$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$

خطوة 6

بما أن بسط الكسر يقترب من عدد حقيقي بينما يُعد قاسمه غير محدود، إذن الكسر $\frac{1}{x^{3} e^{x^{4}}}$ يقترب من $0$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4} \cdot 0$

خطوة 7

بسّط الإجابة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1.1

اضرب $\frac{5}{4}$ في $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4 \cdot 4} \cdot 0$

خطوة 7.1.2

اضرب $4$ في $4$ .

$\frac{5}{16} \cdot 0$

خطوة 7.2

اضرب $\frac{5}{16}$ في $0$ .

$0$