حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$

خطوة 1

بما أن $r$ عدد ثابت بالنسبة إلى $n$ ، إذن مشتق $\frac{n r}{1 + (n - 1) r}$ بالنسبة إلى $n$ يساوي $r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$ .

$r \frac{d}{d n} [\frac{n}{1 + (n - 1) r}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d n} [\frac{f (n)}{g (n)}]$ هو $\frac{g (n) \frac{d}{d n} [f (n)] - f (n) \frac{d}{d n} [g (n)]}{{g (n)}^{2}}$ حيث $f (n) = n$ و $g (n) = 1 + (n - 1) r$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \frac{d}{d n} [n] - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ هو $n \cdot n^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$r \frac{(1 + (n - 1) r) \cdot 1 - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب $1 + (n - 1) r$ في $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [1 + (n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $1 + (n - 1) r$ بالنسبة إلى $n$ هو $\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (\frac{d}{d n} [1] + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 3.4

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $n$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $n$ هو $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (0 + \frac{d}{d n} [(n - 1) r])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 3.5

أضف $0$ و $\frac{d}{d n} [(n - 1) r]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n \frac{d}{d n} [(n - 1) r]}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 3.6

بما أن $r$ عدد ثابت بالنسبة إلى $n$ ، إذن مشتق $(n - 1) r$ بالنسبة إلى $n$ يساوي $r \frac{d}{d n} [n - 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r \frac{d}{d n} [n - 1])}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $n - 1$ بالنسبة إلى $n$ هو $\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (\frac{d}{d n} [n] + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d n} [n^{n}]$ هو $n \cdot n^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n (r (1 + \frac{d}{d n} [- 1]))}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 3.9

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $n$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $n$ هو $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r (1 + 0)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 3.10

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.10.1

أضف $1$ و $0$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r \cdot 1}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 3.10.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$r \frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 3.10.3

اجمع $r$ و $\frac{1 + (n - 1) r - n r}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$ .

$\frac{r (1 + (n - 1) r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{r (1 + n r - 1 r - n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + (n - 1) r)}^{2}}$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

خطوة 4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

جمّع الحدود المتعاكسة في $r \cdot 1 + r (n r) + r (- 1 r) + r (- n r)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $r (n r)$ و $r (- n r)$ .

$\frac{r \cdot 1 + n r \cdot r + r (- 1 r) - n r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.2

اطرح $n r \cdot r$ من $n r \cdot r$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r) + 0}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.3

أضف $r \cdot 1 + r (- 1 r)$ و $0$ .

$\frac{r \cdot 1 + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

خطوة 4.4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.1

اضرب $r$ في $1$ .

$\frac{r + r (- 1 r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

خطوة 4.4.2.2

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{r - r \cdot r}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

خطوة 4.4.2.3

اضرب $r$ في $r$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.2.3.1

انقُل $r$ .

$\frac{r - (r \cdot r)}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

خطوة 4.4.2.3.2

اضرب $r$ في $r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - 1 r)}^{2}}$

خطوة 4.5

أعِد كتابة $- 1 r$ بالصيغة $- r$ .

$\frac{r - r^{2}}{{(1 + n r - r)}^{2}}$

خطوة 4.6

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- r^{2} + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

خطوة 4.7

أخرِج العامل $r$ من $- r^{2} + r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.7.1

أخرِج العامل $r$ من $- r^{2}$ .

$\frac{r (- r) + r}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

خطوة 4.7.2

ارفع $r$ إلى القوة $1$ .

$\frac{r (- r) + r^{1}}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

خطوة 4.7.3

أخرِج العامل $r$ من $r^{1}$ .

$\frac{r (- r) + r \cdot 1}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

خطوة 4.7.4

أخرِج العامل $r$ من $r (- r) + r \cdot 1$ .

$\frac{r (- r + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

خطوة 4.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- r$ .

$\frac{r (- (r) + 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

خطوة 4.9

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{r (- (r) - 1 (- 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

خطوة 4.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (r) - 1 (- 1)$ .

$\frac{r (- (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

خطوة 4.11

أعِد كتابة $- (r - 1)$ بالصيغة $- 1 (r - 1)$ .

$\frac{r (- 1 (r - 1))}{{(n r - r + 1)}^{2}}$

خطوة 4.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{r (r - 1)}{{(n r - r + 1)}^{2}}$