حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$h (p) = \frac{p - 1}{p^{2} + 4}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d p} [\frac{f (p)}{g (p)}]$ هو $\frac{g (p) \frac{d}{d p} [f (p)] - f (p) \frac{d}{d p} [g (p)]}{{g (p)}^{2}}$ حيث $f (p) = p - 1$ و $g (p) = p^{2} + 4$ .

$\frac{(p^{2} + 4) \frac{d}{d p} [p - 1] - (p - 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 4]}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $p - 1$ بالنسبة إلى $p$ هو $\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 1]$ .

$\frac{(p^{2} + 4) (\frac{d}{d p} [p] + \frac{d}{d p} [- 1]) - (p - 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 4]}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ هو $n p^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(p^{2} + 4) (1 + \frac{d}{d p} [- 1]) - (p - 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 4]}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $p$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $p$ هو $0$ .

$\frac{(p^{2} + 4) (1 + 0) - (p - 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 4]}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(p^{2} + 4) \cdot 1 - (p - 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 4]}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

اضرب $p^{2} + 4$ في $1$ .

$\frac{p^{2} + 4 - (p - 1) \frac{d}{d p} [p^{2} + 4]}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $p^{2} + 4$ بالنسبة إلى $p$ هو $\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [4]$ .

$\frac{p^{2} + 4 - (p - 1) (\frac{d}{d p} [p^{2}] + \frac{d}{d p} [4])}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d p} [p^{n}]$ هو $n p^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{p^{2} + 4 - (p - 1) (2 p + \frac{d}{d p} [4])}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $p$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $p$ هو $0$ .

$\frac{p^{2} + 4 - (p - 1) (2 p + 0)}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $2 p$ و $0$ .

$\frac{p^{2} + 4 - (p - 1) (2 p)}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{p^{2} + 4 - 2 (p - 1) p}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{p^{2} + 4 + (- 2 p - 2 \cdot - 1) p}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{p^{2} + 4 - 2 p \cdot p - 2 \cdot - 1 p}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اضرب $p$ في $p$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

انقُل $p$ .

$\frac{p^{2} + 4 - 2 (p \cdot p) - 2 \cdot - 1 p}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.1.2

اضرب $p$ في $p$ .

$\frac{p^{2} + 4 - 2 p^{2} - 2 \cdot - 1 p}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{p^{2} + 4 - 2 p^{2} + 2 p}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

اطرح $2 p^{2}$ من $p^{2}$ .

$\frac{- p^{2} + 4 + 2 p}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- p^{2} + 2 p + 4}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- p^{2}$ .

$\frac{- (p^{2}) + 2 p + 4}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $2 p$ .

$\frac{- (p^{2}) - (- 2 p) + 4}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (p^{2}) - (- 2 p)$ .

$\frac{- (p^{2} - 2 p) + 4}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.8

أعِد كتابة $4$ بالصيغة $- 1 (- 4)$ .

$\frac{- (p^{2} - 2 p) - 1 (- 4)}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (p^{2} - 2 p) - 1 (- 4)$ .

$\frac{- (p^{2} - 2 p - 4)}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.10

أعِد كتابة $- (p^{2} - 2 p - 4)$ بالصيغة $- 1 (p^{2} - 2 p - 4)$ .

$\frac{- 1 (p^{2} - 2 p - 4)}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{p^{2} - 2 p - 4}{{(p^{2} + 4)}^{2}}$