حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3}) - \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d r} [\frac{4}{3} \cdot (p {(r + h)}^{3})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

اجمع $p$ و $\frac{4}{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4}{3} \cdot {(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.2

اجمع $\frac{p \cdot 4}{3}$ و ${(r + h)}^{3}$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{p \cdot 4 {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.3

انقُل $4$ إلى يسار $p$ .

$\frac{d}{d r} [\frac{4 \cdot p {(r + h)}^{3}}{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.4

بما أن $\frac{4 p}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $\frac{4 p {(r + h)}^{3}}{3}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}]$ .

$\frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [{(r + h)}^{3}] + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ هو $f' (g (r)) g' (r)$ حيث $f (r) = r^{3}$ و $g (r) = r + h$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.5.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.5.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{4 p}{3} (3 u^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.5.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $r + h$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \frac{d}{d r} [r + h]) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.6

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $r + h$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h]$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (\frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.7

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + \frac{d}{d r} [h])) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.8

بما أن $h$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $h$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} (1 + 0)) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.9

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.10

اضرب $3$ في $1$ .

$\frac{4 p}{3} (3 {(r + h)}^{2}) + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.11

اجمع $3$ و $\frac{4 p}{3}$ .

$\frac{3 (4 p)}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.12

اضرب $4$ في $3$ .

$\frac{12 p}{3} {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.13

اجمع $\frac{12 p}{3}$ و ${(r + h)}^{2}$ .

$\frac{12 p {(r + h)}^{2}}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.14

احذِف العامل المشترك لـ $12$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.1

أخرِج العامل $3$ من $12 p {(r + h)}^{2}$ .

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.14.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.14.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.14.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{3 (4 p {(r + h)}^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.14.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{4 p {(r + h)}^{2}}{1} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 2.14.2.4

اقسِم $4 p {(r + h)}^{2}$ على $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d r} [- \frac{4}{3} \cdot (p r^{3})]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $p$ و $\frac{4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{p \cdot 4}{3} \cdot r^{3}]$

خطوة 3.2

اجمع $r^{3}$ و $\frac{p \cdot 4}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (p \cdot 4)}{3}]$

خطوة 3.3

انقُل $4$ إلى يسار $p$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{r^{3} (4 \cdot p)}{3}]$

خطوة 3.4

انقُل $4$ إلى يسار $r^{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{d}{d r} [- \frac{4 \cdot r^{3} p}{3}]$

خطوة 3.5

بما أن $- \frac{4 p}{3}$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $- \frac{4 r^{3} p}{3}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $- \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} \frac{d}{d r} [r^{3}]$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - \frac{4 p}{3} (3 r^{2})$

خطوة 3.7

اضرب $3$ في $- 1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 3 \frac{4 p}{3} r^{2}$

خطوة 3.8

اجمع $- 3$ و $\frac{4 p}{3}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 3 (4 p)}{3} r^{2}$

خطوة 3.9

اضرب $4$ في $- 3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p}{3} r^{2}$

خطوة 3.10

اجمع $\frac{- 12 p}{3}$ و $r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 12 p r^{2}}{3}$

خطوة 3.11

احذِف العامل المشترك لـ $- 12$ و $3$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

أخرِج العامل $3$ من $- 12 p r^{2}$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3}$

خطوة 3.11.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.2.1

أخرِج العامل $3$ من $3$ .

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 (1)}$

خطوة 3.11.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{3 (- 4 p r^{2})}{3 \cdot 1}$

خطوة 3.11.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$4 p {(r + h)}^{2} + \frac{- 4 p r^{2}}{1}$

خطوة 3.11.2.4

اقسِم $- 4 p r^{2}$ على $1$ .

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 p r^{2}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد ترتيب الحدود.

$4 p {(r + h)}^{2} - 4 r^{2} p$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

أعِد كتابة ${(r + h)}^{2}$ بالصيغة $(r + h) (r + h)$ .

$4 p ((r + h) (r + h)) - 4 r^{2} p$

خطوة 4.2.2

وسّع $(r + h) (r + h)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق خاصية التوزيع.

$4 p (r (r + h) + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

خطوة 4.2.2.2

طبّق خاصية التوزيع.

$4 p (r \cdot r + r h + h (r + h)) - 4 r^{2} p$

خطوة 4.2.2.3

طبّق خاصية التوزيع.

$4 p (r \cdot r + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

خطوة 4.2.3

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.1.1

اضرب $r$ في $r$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h \cdot h) - 4 r^{2} p$

خطوة 4.2.3.1.2

اضرب $h$ في $h$ .

$4 p (r^{2} + r h + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

خطوة 4.2.3.2

أضف $r h$ و $h r$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.3.2.1

أعِد ترتيب $r$ و $h$ .

$4 p (r^{2} + h r + h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

خطوة 4.2.3.2.2

أضف $h r$ و $h r$ .

$4 p (r^{2} + 2 h r + h^{2}) - 4 r^{2} p$

خطوة 4.2.4

طبّق خاصية التوزيع.

$4 p r^{2} + 4 p (2 h r) + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

خطوة 4.2.5

اضرب $2$ في $4$ .

$4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

خطوة 4.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $4 p r^{2} + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أعِد ترتيب العوامل في الحدين $4 p r^{2}$ و $- 4 r^{2} p$ .

$4 r^{2} p + 8 p h r + 4 p h^{2} - 4 r^{2} p$

خطوة 4.3.2

اطرح $4 r^{2} p$ من $4 r^{2} p$ .

$8 p h r + 4 p h^{2} + 0$

خطوة 4.3.3

أضف $8 p h r + 4 p h^{2}$ و $0$ .

$8 p h r + 4 p h^{2}$