حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$P (r) = \frac{5 (3 r + 1)}{r^{2} + r + 2}$

خطوة 1

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $\frac{5 (3 r + 1)}{r^{2} + r + 2}$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $5 \frac{d}{d r} [\frac{3 r + 1}{r^{2} + r + 2}]$ .

$5 \frac{d}{d r} [\frac{3 r + 1}{r^{2} + r + 2}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [\frac{f (r)}{g (r)}]$ هو $\frac{g (r) \frac{d}{d r} [f (r)] - f (r) \frac{d}{d r} [g (r)]}{{g (r)}^{2}}$ حيث $f (r) = 3 r + 1$ و $g (r) = r^{2} + r + 2$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) \frac{d}{d r} [3 r + 1] - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $3 r + 1$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (\frac{d}{d r} [3 r] + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 3.2

بما أن $3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، إذن مشتق $3 r$ بالنسبة إلى $r$ يساوي $3 \frac{d}{d r} [r]$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 3.4

اضرب $3$ في $1$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 + \frac{d}{d r} [1]) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 3.5

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) (3 + 0) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 3.6

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.6.1

أضف $3$ و $0$ .

$5 \frac{(r^{2} + r + 2) \cdot 3 - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 3.6.2

انقُل $3$ إلى يسار $r^{2} + r + 2$ .

$5 \frac{3 \cdot (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) \frac{d}{d r} [r^{2} + r + 2]}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 3.7

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $r^{2} + r + 2$ بالنسبة إلى $r$ هو $\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2]$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (\frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 3.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 3.9

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ هو $n r^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1 + \frac{d}{d r} [2])}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 3.10

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $r$ ، فإن مشتق $2$ بالنسبة إلى $r$ هو $0$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1 + 0)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 3.11

اجمع الكسور.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.11.1

أضف $2 r + 1$ و $0$ .

$5 \frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 3.11.2

اجمع $5$ و $\frac{3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$ .

$\frac{5 (3 (r^{2} + r + 2) - (3 r + 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 (3 r^{2} + 3 r + 3 \cdot 2 - (3 r + 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 (3 r^{2} + 3 r + 3 \cdot 2 + (- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 (3 r^{2}) + 5 (3 r) + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.1

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 5 (3 r) + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.2

اضرب $3$ في $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 5 (3 \cdot 2) + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.3

اضرب $5 (3 \cdot 2)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.3.1

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 5 \cdot 6 + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.3.2

اضرب $5$ في $6$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- (3 r) - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.4.1

اضرب $3$ في $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- 3 r - 1 \cdot 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.4.2

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 ((- 3 r - 1) (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.5

وسّع $(- 3 r - 1) (2 r + 1)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.5.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r + 1) - 1 (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.5.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.5.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 r (2 r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.6

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.6.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.6.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 r \cdot r - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.6.1.2

اضرب $r$ في $r$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.6.1.2.1

انقُل $r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 (r \cdot r) - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.6.1.2.2

اضرب $r$ في $r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 3 \cdot 2 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.6.1.3

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r \cdot 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.6.1.4

اضرب $- 3$ في $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 1 (2 r) - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.6.1.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 2 r - 1 \cdot 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.6.1.6

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 3 r - 2 r - 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.6.2

اطرح $2 r$ من $- 3 r$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2} - 5 r - 1)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.7

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 + 5 (- 6 r^{2}) + 5 (- 5 r) + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.8

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.4.1.8.1

اضرب $- 6$ في $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} + 5 (- 5 r) + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.8.2

اضرب $- 5$ في $5$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} - 25 r + 5 \cdot - 1}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.1.8.3

اضرب $5$ في $- 1$ .

$\frac{15 r^{2} + 15 r + 30 - 30 r^{2} - 25 r - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.2

اطرح $30 r^{2}$ من $15 r^{2}$ .

$\frac{- 15 r^{2} + 15 r + 30 - 25 r - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.3

اطرح $25 r$ من $15 r$ .

$\frac{- 15 r^{2} - 10 r + 30 - 5}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.4.4

اطرح $5$ من $30$ .

$\frac{- 15 r^{2} - 10 r + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.5

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1

أخرِج العامل $5$ من $- 15 r^{2} - 10 r + 25$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.1.1

أخرِج العامل $5$ من $- 15 r^{2}$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) - 10 r + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.2

أخرِج العامل $5$ من $- 10 r$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r) + 25}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.3

أخرِج العامل $5$ من $25$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r) + 5 (5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.4

أخرِج العامل $5$ من $5 (- 3 r^{2}) + 5 (- 2 r)$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 r) + 5 (5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.5.1.5

أخرِج العامل $5$ من $5 (- 3 r^{2} - 2 r) + 5 (5)$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.5.2

حلّل إلى عوامل بالتجميع.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1

بالنسبة إلى متعدد حدود بالصيغة $a x^{2} + b x + c$ ، أعِد كتابة الحد الأوسط كمجموع من حدين حاصل ضربهما $a \cdot c = - 3 \cdot 5 = - 15$ ومجموعهما $b = - 2$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.1.1

أخرِج العامل $- 2$ من $- 2 r$ .

$\frac{5 (- 3 r^{2} - 2 (r) + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.5.2.1.2

أعِد كتابة $- 2$ في صورة $3$ زائد $- 5$

$\frac{5 (- 3 r^{2} + (3 - 5) r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.5.2.1.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{5 (- 3 r^{2} + 3 r - 5 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.5.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.5.2.2.1

جمّع أول حدين وآخر حدين.

$\frac{5 ((- 3 r^{2} + 3 r) - 5 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.5.2.2.2

أخرِج العامل المشترك الأكبر من كل مجموعة.

$\frac{5 (3 r (- r + 1) + 5 (- r + 1))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.5.2.3

حلّل متعدد الحدود إلى عوامل بإخراج العامل المشترك الأكبر، $- r + 1$ .

$\frac{5 ((- r + 1) (3 r + 5))}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

$\frac{5 (- r + 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- r$ .

$\frac{5 (- (r) + 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.7

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{5 (- (r) - 1 (- 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (r) - 1 (- 1)$ .

$\frac{5 (- (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.9

أعِد كتابة $- (r - 1)$ بالصيغة $- 1 (r - 1)$ .

$\frac{5 (- 1 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.10

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(5 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$

خطوة 4.11

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{(5 (r - 1)) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$ .

$- \frac{5 (r - 1) (3 r + 5)}{{(r^{2} + r + 2)}^{2}}$