حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$2^{\sqrt{t}}$

خطوة 1

استخدِم $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ لكتابة $\sqrt{t}$ في صورة $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [2^{t^{\frac{1}{2}}}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = 2^{t}$ و $g (t) = t^{\frac{1}{2}}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [2^{u}] \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام القاعدة الأسية التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ هو $a^{u} \ln (a)$ حيث $a$ = $2$ .

$2^{u} \ln (2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

خطوة 3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

خطوة 4

لكتابة $- 1$ على هيئة كسر بقاسم مشترك، اضرب في $\frac{2}{2}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

خطوة 5

اجمع $- 1$ و $\frac{2}{2}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 6

اجمع البسوط على القاسم المشترك.

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

خطوة 7

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 7.1

اضرب $- 1$ في $2$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

خطوة 7.2

اطرح $2$ من $1$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

خطوة 8

انقُل السالب أمام الكسر.

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

خطوة 9

اجمع $\frac{1}{2}$ و $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

خطوة 10

اجمع $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ و $2^{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{t^{\frac{1}{2}}}}{2} \ln (2)$

خطوة 11

اجمع $\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{t^{\frac{1}{2}}}}{2}$ و $\ln (2)$ .

$\frac{t^{- \frac{1}{2}} \cdot 2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2)}{2}$

خطوة 12

انقُل $t^{- \frac{1}{2}}$ إلى القاسم باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2)}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 13

أخرِج العامل $2$ من $2^{t^{\frac{1}{2}}} \ln (2)$ .

$\frac{2 (2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2))}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 14.1

أخرِج العامل $2$ من $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2))}{2 (t^{\frac{1}{2}})}$

خطوة 14.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{2 (2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2))}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

خطوة 14.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{2^{t^{\frac{1}{2}} - 1} \ln (2)}{t^{\frac{1}{2}}}$