حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{500 t}{2 t^{2} + 25}$

خطوة 1

بما أن $500$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{500 t}{2 t^{2} + 25}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $500 \frac{d}{d t} [\frac{t}{2 t^{2} + 25}]$ .

$500 \frac{d}{d t} [\frac{t}{2 t^{2} + 25}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t$ و $g (t) = 2 t^{2} + 25$ .

$500 \frac{(2 t^{2} + 25) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$500 \frac{(2 t^{2} + 25) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 3.2

اضرب $2 t^{2} + 25$ في $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t \frac{d}{d t} [2 t^{2} + 25]}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t^{2} + 25$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25]$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (\frac{d}{d t} [2 t^{2}] + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 3.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (2 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (2 (2 t) + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 3.6

اضرب $2$ في $2$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t + \frac{d}{d t} [25])}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 3.7

بما أن $25$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $25$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t + 0)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 3.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.8.1

أضف $4 t$ و $0$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - t (4 t)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 3.8.2

اضرب $4$ في $- 1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t \cdot t}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 4

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 (t^{1} t)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 5

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 (t^{1} t^{1})}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 6

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t^{1 + 1}}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 7

أضف $1$ و $1$ .

$500 \frac{2 t^{2} + 25 - 4 t^{2}}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 8

اطرح $4 t^{2}$ من $2 t^{2}$ .

$500 \frac{- 2 t^{2} + 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 9

اجمع $500$ و $\frac{- 2 t^{2} + 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 10

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 \cdot 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 10.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.2.1

اضرب $- 2$ في $500$ .

$\frac{- 1000 t^{2} + 500 \cdot 25}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 10.2.2

اضرب $500$ في $25$ .

$\frac{- 1000 t^{2} + 12500}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 10.3

أخرِج العامل $500$ من $- 1000 t^{2} + 12500$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 10.3.1

أخرِج العامل $500$ من $- 1000 t^{2}$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 12500}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 10.3.2

أخرِج العامل $500$ من $12500$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2}) + 500 (25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 10.3.3

أخرِج العامل $500$ من $500 (- 2 t^{2}) + 500 (25)$ .

$\frac{500 (- 2 t^{2} + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 10.4

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 t^{2}$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) + 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 10.5

أعِد كتابة $25$ بالصيغة $- 1 (- 25)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2}) - 1 (- 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 10.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 t^{2}) - 1 (- 25)$ .

$\frac{500 (- (2 t^{2} - 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 10.7

أعِد كتابة $- (2 t^{2} - 25)$ بالصيغة $- 1 (2 t^{2} - 25)$ .

$\frac{500 (- 1 (2 t^{2} - 25))}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$

خطوة 10.8

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{500 (2 t^{2} - 25)}{{(2 t^{2} + 25)}^{2}}$