حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{6}{t^{2} + 5 t - 9}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة المضاعف الثابت.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

بما أن $6$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $\frac{6}{t^{2} + 5 t - 9}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}]$ .

$6 \frac{d}{d t} [\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}]$

خطوة 1.2

أعِد كتابة $\frac{1}{t^{2} + 5 t - 9}$ بالصيغة ${(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 1}$ .

$6 \frac{d}{d t} [{(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 1}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{- 1}$ و $g (t) = t^{2} + 5 t - 9$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u$ لتصبح $t^{2} + 5 t - 9$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ هو $n u^{n - 1}$ حيث $n = - 1$ .

$6 (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u$ بـ $t^{2} + 5 t - 9$ .

$6 (- {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اضرب $- 1$ في $6$ .

$- 6 ({(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2} + 5 t - 9])$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 5 t - 9$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9]$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

خطوة 3.3

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + \frac{d}{d t} [5 t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

خطوة 3.4

بما أن $5$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $5 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

خطوة 3.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 9])$

خطوة 3.6

اضرب $5$ في $1$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 + \frac{d}{d t} [- 9])$

خطوة 3.7

بما أن $- 9$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 9$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5 + 0)$

خطوة 3.8

أضف $2 t + 5$ و $0$ .

$- 6 {(t^{2} + 5 t - 9)}^{- 2} (2 t + 5)$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أعِد كتابة العبارة باستخدام قاعدة الأُسس السالبة $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 6 \frac{1}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

خطوة 4.2

جمّع الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

اجمع $- 6$ و $\frac{1}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$ .

$\frac{- 6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

خطوة 4.2.2

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$

خطوة 4.3

أعِد ترتيب عوامل $- \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}} (2 t + 5)$ .

$- (2 t + 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

خطوة 4.4

طبّق خاصية التوزيع.

$(- (2 t) - 1 \cdot 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

خطوة 4.5

اضرب $2$ في $- 1$ .

$(- 2 t - 1 \cdot 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

خطوة 4.6

اضرب $- 1$ في $5$ .

$(- 2 t - 5) \frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

خطوة 4.7

اضرب $- 2 t - 5$ في $\frac{6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$ .

$\frac{(- 2 t - 5) \cdot 6}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

خطوة 4.8

انقُل $6$ إلى يسار $- 2 t - 5$ .

$\frac{6 \cdot (- 2 t - 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

خطوة 4.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 t$ .

$\frac{6 (- (2 t) - 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

خطوة 4.10

أعِد كتابة $- 5$ بالصيغة $- 1 (5)$ .

$\frac{6 (- (2 t) - 1 (5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

خطوة 4.11

أخرِج العامل $- 1$ من $- (2 t) - 1 (5)$ .

$\frac{6 (- (2 t + 5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

خطوة 4.12

أعِد كتابة $- (2 t + 5)$ بالصيغة $- 1 (2 t + 5)$ .

$\frac{6 (- 1 (2 t + 5))}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$

خطوة 4.13

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{6 (2 t + 5)}{{(t^{2} + 5 t - 9)}^{2}}$