حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{t - 1}{t^{2} + 1}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t - 1$ و $g (t) = t^{2} + 1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t - 1] - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t - 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (1 + \frac{d}{d t} [- 1]) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{(t^{2} + 1) (1 + 0) - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $1$ و $0$ .

$\frac{(t^{2} + 1) \cdot 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

اضرب $t^{2} + 1$ في $1$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1]}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t + \frac{d}{d t} [1])}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t + 0)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $2 t$ و $0$ .

$\frac{t^{2} + 1 - (t - 1) (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 2.8.2

اضرب $2$ في $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 1 - 2 (t - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{2} + 1 + (- 2 t - 2 \cdot - 1) t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t \cdot t - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1

اضرب $t$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.3.1.1.1

انقُل $t$ .

$\frac{t^{2} + 1 - 2 (t \cdot t) - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.1.2

اضرب $t$ في $t$ .

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2} - 2 \cdot - 1 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.1.2

اضرب $- 2$ في $- 1$ .

$\frac{t^{2} + 1 - 2 t^{2} + 2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.3.2

اطرح $2 t^{2}$ من $t^{2}$ .

$\frac{- t^{2} + 1 + 2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.4

أعِد ترتيب الحدود.

$\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.5

أخرِج العامل $- 1$ من $- t^{2}$ .

$\frac{- (t^{2}) + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $2 t$ .

$\frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- (t^{2}) - (- 2 t)$ .

$\frac{- (t^{2} - 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.8

أعِد كتابة $1$ بالصيغة $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.9

أخرِج العامل $- 1$ من $- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.10

أعِد كتابة $- (t^{2} - 2 t - 1)$ بالصيغة $- 1 (t^{2} - 2 t - 1)$ .

$\frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

خطوة 3.11

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$