حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\ln ({(t^{4} - t)}^{7})$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \ln (t)$ و $g (t) = {(t^{4} - t)}^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح ${(t^{4} - t)}^{7}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(t^{4} - t)}^{7}]$

خطوة 1.2

مشتق $\ln (u_{1})$ بالنسبة إلى $u_{1}$ يساوي $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(t^{4} - t)}^{7}]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ ${(t^{4} - t)}^{7}$ .

$\frac{1}{{(t^{4} - t)}^{7}} \frac{d}{d t} [{(t^{4} - t)}^{7}]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{7}$ و $g (t) = t^{4} - t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $t^{4} - t$ .

$\frac{1}{{(t^{4} - t)}^{7}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d t} [t^{4} - t])$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 7$ .

$\frac{1}{{(t^{4} - t)}^{7}} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d t} [t^{4} - t])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $t^{4} - t$ .

$\frac{1}{{(t^{4} - t)}^{7}} (7 {(t^{4} - t)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{4} - t])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

اجمع $7$ و $\frac{1}{{(t^{4} - t)}^{7}}$ .

$\frac{7}{{(t^{4} - t)}^{7}} ({(t^{4} - t)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{4} - t])$

خطوة 3.2

بسّط الحدود.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.1

اجمع ${(t^{4} - t)}^{6}$ و $\frac{7}{{(t^{4} - t)}^{7}}$ .

$\frac{{(t^{4} - t)}^{6} \cdot 7}{{(t^{4} - t)}^{7}} \frac{d}{d t} [t^{4} - t]$

خطوة 3.2.2

انقُل $7$ إلى يسار ${(t^{4} - t)}^{6}$ .

$\frac{7 \cdot {(t^{4} - t)}^{6}}{{(t^{4} - t)}^{7}} \frac{d}{d t} [t^{4} - t]$

خطوة 3.2.3

احذِف العامل المشترك لـ ${(t^{4} - t)}^{6}$ و ${(t^{4} - t)}^{7}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.1

أخرِج العامل ${(t^{4} - t)}^{6}$ من $7 {(t^{4} - t)}^{6}$ .

$\frac{{(t^{4} - t)}^{6} \cdot 7}{{(t^{4} - t)}^{7}} \frac{d}{d t} [t^{4} - t]$

خطوة 3.2.3.2

ألغِ العوامل المشتركة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.2.3.2.1

أخرِج العامل ${(t^{4} - t)}^{6}$ من ${(t^{4} - t)}^{7}$ .

$\frac{{(t^{4} - t)}^{6} \cdot 7}{{(t^{4} - t)}^{6} (t^{4} - t)} \frac{d}{d t} [t^{4} - t]$

خطوة 3.2.3.2.2

ألغِ العامل المشترك.

$\frac{{(t^{4} - t)}^{6} \cdot 7}{{(t^{4} - t)}^{6} (t^{4} - t)} \frac{d}{d t} [t^{4} - t]$

خطوة 3.2.3.2.3

أعِد كتابة العبارة.

$\frac{7}{t^{4} - t} \frac{d}{d t} [t^{4} - t]$

خطوة 3.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{4} - t$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{7}{t^{4} - t} (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- t])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{7}{t^{4} - t} (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- t])$

خطوة 3.5

بما أن $- 1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{7}{t^{4} - t} (4 t^{3} - \frac{d}{d t} [t])$

خطوة 3.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$\frac{7}{t^{4} - t} (4 t^{3} - 1 \cdot 1)$

خطوة 3.7

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.7.1

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{7}{t^{4} - t} (4 t^{3} - 1)$

خطوة 3.7.2

أعِد ترتيب عوامل $\frac{7}{t^{4} - t} (4 t^{3} - 1)$ .

$(4 t^{3} - 1) \frac{7}{t^{4} - t}$