حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\sin^{2} (t^{2} + \tan (t))$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = \sin (t^{2} + \tan (t))$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $\sin (t^{2} + \tan (t))$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (t^{2} + \tan (t))]$

خطوة 1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2} + \tan (t))]$

خطوة 1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $\sin (t^{2} + \tan (t))$ .

$2 \sin (t^{2} + \tan (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t^{2} + \tan (t))]$

خطوة 2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = \sin (t)$ و $g (t) = t^{2} + \tan (t)$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $t^{2} + \tan (t)$ .

$2 \sin (t^{2} + \tan (t)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [t^{2} + \tan (t)])$

خطوة 2.2

مشتق $\sin (u_{2})$ بالنسبة إلى $u_{2}$ يساوي $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (t^{2} + \tan (t)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [t^{2} + \tan (t)])$

خطوة 2.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $t^{2} + \tan (t)$ .

$2 \sin (t^{2} + \tan (t)) (\cos (t^{2} + \tan (t)) \frac{d}{d t} [t^{2} + \tan (t)])$

خطوة 3

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + \tan (t)$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\tan (t)]$ .

$2 \sin (t^{2} + \tan (t)) \cos (t^{2} + \tan (t)) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

خطوة 3.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$2 \sin (t^{2} + \tan (t)) \cos (t^{2} + \tan (t)) (2 t + \frac{d}{d t} [\tan (t)])$

خطوة 4

مشتق $\tan (t)$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $\sec^{2} (t)$ .

$2 \sin (t^{2} + \tan (t)) \cos (t^{2} + \tan (t)) (2 t + \sec^{2} (t))$

خطوة 5

أعِد ترتيب عوامل $2 \sin (t^{2} + \tan (t)) \cos (t^{2} + \tan (t)) (2 t + \sec^{2} (t))$ .

$2 \cos (t^{2} + \tan (t)) \sin (t^{2} + \tan (t)) (2 t + \sec^{2} (t))$