حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{t^{2} + 1}{t^{4} - 3 t^{2} + 4}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t^{2} + 1$ و $g (t) = t^{4} - 3 t^{2} + 4$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) \frac{d}{d t} [t^{2} + 1] - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{2} + 1$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t + \frac{d}{d t} [1]) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.3

بما أن $1$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $1$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t + 0) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.4

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.4.1

أضف $2 t$ و $0$ .

$\frac{(t^{4} - 3 t^{2} + 4) (2 t) - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.4.2

انقُل $2$ إلى يسار $t^{4} - 3 t^{2} + 4$ .

$\frac{2 \cdot (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) \frac{d}{d t} [t^{4} - 3 t^{2} + 4]}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.5

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $t^{4} - 3 t^{2} + 4$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4]$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (\frac{d}{d t} [t^{4}] + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.6

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} + \frac{d}{d t} [- 3 t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $- 3$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $- 3 t^{2}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $- 3 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 3 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.8

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 3 (2 t) + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.9

اضرب $2$ في $- 3$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t + \frac{d}{d t} [4])}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.10

بما أن $4$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $4$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t + 0)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 2.11

أضف $4 t^{3} - 6 t$ و $0$ .

$\frac{2 (t^{4} - 3 t^{2} + 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 t^{4} + 2 (- 3 t^{2}) + 2 \cdot 4) t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t - (t^{2} + 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t^{4} t + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1

اضرب $t^{4}$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.1

انقُل $t$ .

$\frac{2 (t \cdot t^{4}) + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.1.2

اضرب $t$ في $t^{4}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.1.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (t^{1} t^{4}) + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 t^{1 + 4} + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.1.3

أضف $1$ و $4$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{2}) t + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2

اضرب $t^{2}$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.2.1

انقُل $t$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 (t \cdot t^{2})) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2.2

اضرب $t$ في $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.2.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 (t^{1} t^{2})) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{1 + 2}) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.2.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 t^{5} + 2 (- 3 t^{3}) + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.3

اضرب $- 3$ في $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 2 \cdot 4 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.4

اضرب $2$ في $4$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + (- t^{2} - 1 \cdot 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.5

اضرب $- 1$ في $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + (- t^{2} - 1) (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6

وسّع $(- t^{2} - 1) (4 t^{3} - 6 t)$ باستخدام طريقة "الأول، الخارجي، الداخلي، الأخير".

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.6.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3} - 6 t) - 1 (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3} - 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.6.3

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - t^{2} (4 t^{3}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7

بسّط ووحّد الحدود المتشابهة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.7.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.7.1.1

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{2} t^{3} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7.1.2

اضرب $t^{2}$ في $t^{3}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.7.1.2.1

انقُل $t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 (t^{3} t^{2}) - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{3 + 2} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7.1.2.3

أضف $3$ و $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 1 \cdot 4 t^{5} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7.1.3

اضرب $- 1$ في $4$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - t^{2} (- 6 t) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7.1.4

أعِد الكتابة باستخدام خاصية الإبدال لعملية الضرب.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{2} t - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7.1.5

اضرب $t^{2}$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.7.1.5.1

انقُل $t$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 (t \cdot t^{2}) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7.1.5.2

اضرب $t$ في $t^{2}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.4.1.7.1.5.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 (t^{1} t^{2}) - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7.1.5.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{1 + 2} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7.1.5.3

أضف $1$ و $2$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} - 1 \cdot - 6 t^{3} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7.1.6

اضرب $- 1$ في $- 6$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 1 (4 t^{3}) - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7.1.7

اضرب $4$ في $- 1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 4 t^{3} - 1 (- 6 t)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7.1.8

اضرب $- 6$ في $- 1$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 6 t^{3} - 4 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.1.7.2

اطرح $4 t^{3}$ من $6 t^{3}$ .

$\frac{2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t - 4 t^{5} + 2 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.2

اطرح $4 t^{5}$ من $2 t^{5}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 6 t^{3} + 8 t + 2 t^{3} + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.3

أضف $- 6 t^{3}$ و $2 t^{3}$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 8 t + 6 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.4.4

أضف $8 t$ و $6 t$ .

$\frac{- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.5

أخرِج العامل $2 t$ من $- 2 t^{5} - 4 t^{3} + 14 t$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.5.1

أخرِج العامل $2 t$ من $- 2 t^{5}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) - 4 t^{3} + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.5.2

أخرِج العامل $2 t$ من $- 4 t^{3}$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2}) + 14 t}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.5.3

أخرِج العامل $2 t$ من $14 t$ .

$\frac{2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2}) + 2 t (7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.5.4

أخرِج العامل $2 t$ من $2 t (- t^{4}) + 2 t (- 2 t^{2})$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 2 t^{2}) + 2 t (7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.5.5

أخرِج العامل $2 t$ من $2 t (- t^{4} - 2 t^{2}) + 2 t (7)$ .

$\frac{2 t (- t^{4} - 2 t^{2} + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.6

أخرِج العامل $- 1$ من $- t^{4}$ .

$\frac{2 t (- (t^{4}) - 2 t^{2} + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.7

أخرِج العامل $- 1$ من $- 2 t^{2}$ .

$\frac{2 t (- (t^{4}) - (2 t^{2}) + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.8

أخرِج العامل $- 1$ من $- (t^{4}) - (2 t^{2})$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2}) + 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.9

أعِد كتابة $7$ بالصيغة $- 1 (- 7)$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2}) - 1 (- 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.10

أخرِج العامل $- 1$ من $- (t^{4} + 2 t^{2}) - 1 (- 7)$ .

$\frac{2 t (- (t^{4} + 2 t^{2} - 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.11

أعِد كتابة $- (t^{4} + 2 t^{2} - 7)$ بالصيغة $- 1 (t^{4} + 2 t^{2} - 7)$ .

$\frac{2 t (- 1 (t^{4} + 2 t^{2} - 7))}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.12

انقُل السالب أمام الكسر.

$- \frac{(2 t) (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$

خطوة 3.13

أعِد ترتيب العوامل في $- \frac{(2 t) (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$ .

$- \frac{2 t (t^{4} + 2 t^{2} - 7)}{{(t^{4} - 3 t^{2} + 4)}^{2}}$