حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

$\frac{t^{2}}{2 t^{3} + 27}$

خطوة 1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القسمة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ هو $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ حيث $f (t) = t^{2}$ و $g (t) = 2 t^{3} + 27$ .

$\frac{(2 t^{3} + 27) \frac{d}{d t} [t^{2}] - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{3} + 27]}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 2

أوجِد المشتقة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 2$ .

$\frac{(2 t^{3} + 27) (2 t) - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{3} + 27]}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.2

انقُل $2$ إلى يسار $2 t^{3} + 27$ .

$\frac{2 \cdot (2 t^{3} + 27) t - t^{2} \frac{d}{d t} [2 t^{3} + 27]}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.3

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $2 t^{3} + 27$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [27]$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (\frac{d}{d t} [2 t^{3}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.4

بما أن $2$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $2 t^{3}$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $2 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (2 \frac{d}{d t} [t^{3}] + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.5

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 3$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (2 (3 t^{2}) + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.6

اضرب $3$ في $2$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (6 t^{2} + \frac{d}{d t} [27])}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.7

بما أن $27$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $27$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (6 t^{2} + 0)}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.8

بسّط العبارة.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.8.1

أضف $6 t^{2}$ و $0$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - t^{2} (6 t^{2})}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 2.8.2

اضرب $6$ في $- 1$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 t^{2} t^{2}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 3

اضرب $t^{2}$ في $t^{2}$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

انقُل $t^{2}$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 (t^{2} t^{2})}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 3.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 t^{2 + 2}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 3.3

أضف $2$ و $2$ .

$\frac{2 (2 t^{3} + 27) t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{(2 (2 t^{3}) + 2 \cdot 27) t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 4.2

طبّق خاصية التوزيع.

$\frac{2 (2 t^{3}) t + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 4.3

بسّط بَسْط الكسر.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1

اضرب $t^{3}$ في $t$ بجمع الأُسس.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.1

انقُل $t$ .

$\frac{2 (2 (t \cdot t^{3})) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.1.2

اضرب $t$ في $t^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1.1.2.1

ارفع $t$ إلى القوة $1$ .

$\frac{2 (2 (t^{1} t^{3})) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.1.2.2

استخدِم قاعدة القوة $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ لتجميع الأُسس.

$\frac{2 (2 t^{1 + 3}) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.1.3

أضف $1$ و $3$ .

$\frac{2 (2 t^{4}) + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.2

اضرب $2$ في $2$ .

$\frac{4 t^{4} + 2 \cdot 27 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 4.3.1.3

اضرب $2$ في $27$ .

$\frac{4 t^{4} + 54 t - 6 t^{4}}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$

خطوة 4.3.2

اطرح $6 t^{4}$ من $4 t^{4}$ .

$\frac{- 2 t^{4} + 54 t}{{(2 t^{3} + 27)}^{2}}$