حساب التفاضل والتكامل الأمثلة

${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$

خطوة 1

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق ${(8 t - 7)}^{4} + {(8 t + 7)}^{4}$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ .

$\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

خطوة 2

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [{(8 t - 7)}^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{4}$ و $g (t) = 8 t - 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 2.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{1}$ لتصبح $8 t - 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

خطوة 2.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ هو $n {u_{1}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

خطوة 2.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{1}$ بـ $8 t - 7$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t - 7] + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

خطوة 2.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 t - 7$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

خطوة 2.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $8 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

خطوة 2.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 7]) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

خطوة 2.5

بما أن $- 7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $- 7$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

خطوة 2.6

اضرب $8$ في $1$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} (8 + 0) + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

خطوة 2.7

أضف $8$ و $0$ .

$4 {(8 t - 7)}^{3} \cdot 8 + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

خطوة 2.8

اضرب $8$ في $4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$

خطوة 3

احسِب قيمة $\frac{d}{d t} [{(8 t + 7)}^{4}]$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة، والتي تنص على أن $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ هو $f' (g (t)) g' (t)$ حيث $f (t) = t^{4}$ و $g (t) = 8 t + 7$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 3.1.1

لتطبيق قاعدة السلسلة، عيّن قيمة $u_{2}$ لتصبح $8 t + 7$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

خطوة 3.1.2

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ هو $n {u_{2}}^{n - 1}$ حيث $n = 4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

خطوة 3.1.3

استبدِل كافة حالات حدوث $u_{2}$ بـ $8 t + 7$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \frac{d}{d t} [8 t + 7]$

خطوة 3.2

وفقًا لقاعدة الجمع، فإن مشتق $8 t + 7$ بالنسبة إلى $t$ هو $\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7]$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (\frac{d}{d t} [8 t] + \frac{d}{d t} [7])$

خطوة 3.3

بما أن $8$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، إذن مشتق $8 t$ بالنسبة إلى $t$ يساوي $8 \frac{d}{d t} [t]$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [7])$

خطوة 3.4

أوجِد المشتقة باستخدام قاعدة القوة التي تنص على أن $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ هو $n t^{n - 1}$ حيث $n = 1$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [7])$

خطوة 3.5

بما أن $7$ عدد ثابت بالنسبة إلى $t$ ، فإن مشتق $7$ بالنسبة إلى $t$ هو $0$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 \cdot 1 + 0)$

خطوة 3.6

اضرب $8$ في $1$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} (8 + 0)$

خطوة 3.7

أضف $8$ و $0$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 4 {(8 t + 7)}^{3} \cdot 8$

خطوة 3.8

اضرب $8$ في $4$ .

$32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

خطوة 4

بسّط.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1

أخرِج العامل $32$ من $32 {(8 t - 7)}^{3} + 32 {(8 t + 7)}^{3}$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.1.1

أخرِج العامل $32$ من $32 {(8 t - 7)}^{3}$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 {(8 t + 7)}^{3}$

خطوة 4.1.2

أخرِج العامل $32$ من $32 {(8 t + 7)}^{3}$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$

خطوة 4.1.3

أخرِج العامل $32$ من $32 ({(8 t - 7)}^{3}) + 32 ({(8 t + 7)}^{3})$ .

$32 ({(8 t - 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

خطوة 4.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.1

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$32 ({(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

خطوة 4.2.2

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.2.1

طبّق قاعدة الضرب على $8 t$ .

$32 (8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

خطوة 4.2.2.2

ارفع $8$ إلى القوة $3$ .

$32 (512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

خطوة 4.2.2.3

طبّق قاعدة الضرب على $8 t$ .

$32 (512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

خطوة 4.2.2.4

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$32 (512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

خطوة 4.2.2.5

اضرب $64$ في $3$ .

$32 (512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot - 7 + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

خطوة 4.2.2.6

اضرب $- 7$ في $192$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 3 (8 t) {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

خطوة 4.2.2.7

اضرب $8$ في $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t {(- 7)}^{2} + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

خطوة 4.2.2.8

ارفع $- 7$ إلى القوة $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

خطوة 4.2.2.9

اضرب $49$ في $24$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t + {(- 7)}^{3} + {(8 t + 7)}^{3})$

خطوة 4.2.2.10

ارفع $- 7$ إلى القوة $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t + 7)}^{3})$

خطوة 4.2.3

استخدِم مبرهنة ذات الحدين.

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + {(8 t)}^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

خطوة 4.2.4

بسّط كل حد.

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.2.4.1

طبّق قاعدة الضرب على $8 t$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 8^{3} t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

خطوة 4.2.4.2

ارفع $8$ إلى القوة $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 {(8 t)}^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

خطوة 4.2.4.3

طبّق قاعدة الضرب على $8 t$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (8^{2} t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

خطوة 4.2.4.4

ارفع $8$ إلى القوة $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 3 (64 t^{2}) \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

خطوة 4.2.4.5

اضرب $64$ في $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 192 t^{2} \cdot 7 + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

خطوة 4.2.4.6

اضرب $7$ في $192$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 3 (8 t) \cdot 7^{2} + 7^{3})$

خطوة 4.2.4.7

اضرب $8$ في $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 7^{2} + 7^{3})$

خطوة 4.2.4.8

ارفع $7$ إلى القوة $2$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 24 t \cdot 49 + 7^{3})$

خطوة 4.2.4.9

اضرب $49$ في $24$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 7^{3})$

خطوة 4.2.4.10

ارفع $7$ إلى القوة $3$ .

$32 (512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343)$

خطوة 4.3

جمّع الحدود المتعاكسة في $512 t^{3} - 1344 t^{2} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1344 t^{2} + 1176 t + 343$ .

انقر لعرض المزيد من الخطوات...

خطوة 4.3.1

أضف $- 1344 t^{2}$ و $1344 t^{2}$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 0 + 1176 t + 343)$

خطوة 4.3.2

أضف $512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3}$ و $0$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t - 343 + 512 t^{3} + 1176 t + 343)$

خطوة 4.3.3

أضف $- 343$ و $343$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t + 0)$

خطوة 4.3.4

أضف $512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t$ و $0$ .

$32 (512 t^{3} + 1176 t + 512 t^{3} + 1176 t)$

خطوة 4.4

أضف $512 t^{3}$ و $512 t^{3}$ .

$32 (1024 t^{3} + 1176 t + 1176 t)$

خطوة 4.5

أضف $1176 t$ و $1176 t$ .

$32 (1024 t^{3} + 2352 t)$

خطوة 4.6

طبّق خاصية التوزيع.

$32 (1024 t^{3}) + 32 (2352 t)$

خطوة 4.7

اضرب $1024$ في $32$ .

$32768 t^{3} + 32 (2352 t)$

خطوة 4.8

اضرب $2352$ في $32$ .

$32768 t^{3} + 75264 t$